资源描述：
《2011年清华航院弹塑性力学课件 第五章弹性力学的基本方程与解法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、弹塑性力学第四章弹性力学的基本方程与解法一、线性弹性理论适定问题的基本方程和边界条件对于在空间占有体积域V的线弹性体在外加恒定载荷和固定几何约束条件下引起的小变形问题，若以u,,εσ作为求解变量，则可以建立如下偏微分方程边值问题：几何方程11εij=+()uuij,,jiε=()∇uu+∇(1a)22广义胡克定律σ=Eεσ=εE:(1b)ijijklkl平衡方程σ,0+=f∇⋅+=σf0∀∈xV(1c)ijji以上方程均要求在域内各点均满足。边界条件uiuuii=∀∈xS(2a)tintjjσi=i∀∈xS(2b)对于适定问题，即
2、不仅要求保证解存在唯一，而且有较好的稳定性。当载荷或边界条件给定值有微小摄动时，应能保证问题解的变化也是微小的。对于边界条件的提法就有严格的要求。即要求：uitiuitiSSSUI==SS∅(2c)对于各向同性材料，其广义胡克定律可具体写成σ=+λεδ2Gεσ=ελtr()I+2Gε(3a)ijkkijij11εij=+−⎡⎤⎣⎦()1νσνσδijkkijε1=⎡⎣()+ννσ−σtr()I⎤⎦(3b)EE以上就域内方程来说，一共是对于u,,σε的15个独立分量uii,,σjiεj的15个方程。对于边界条件来说，三维问题每点有三
3、个边界条件，而且是在三个正交方向上每个方向有一个边界条件，这个边界条件或者给定位移、或者给定面力。这三个正交⎯1⎯第四章弹性力学的基本方程与解法方向可以是整体笛卡儿坐标系的三个方向，也可以是边界自然坐标系的三个方向（即法向和两个切向）。从更一般来说，除去给定位移或面力外，还有另一种线性的边界条件tKucii+jji=(4)这是一种弹性约束条件。用这个条件可以取代给定位移或给定面力的条件。对于包含两种不同材料粘结面的弹性理论问题，则在边界条件之外还要在粘结面上提出连续条件，包括位移连续条件和面力连续条件12111222uu==,nσ
4、σttn=−=−(5)iiiijjjiij对于弹性体内人为划分的界面，其界面连续条件也是(5)式。界面每点的边界条件数目等于一般边界每点边界条件数目的两倍。对于线性弹性力学问题，若仅以ε,σ为求解变量，先不求弹性体的位移场，则可建立如下的偏微分方程边值问题：应变协调方程∇×ε×∇=0广义胡克定律σ=Eεσ=εE:(6b)ijijklkl平衡方程σ,0+=f∇⋅+=σf0∀∈xV(6c)ijji边界条件ntjjσi=i∀x∈S(7)由于位移不是基本求解变量，因此对于一般情况的位移边界条件难以处理，对于复连通域还要附加积分形式的位移单
5、值条件。这种形式的微分提法一般用于求解单连通域给定面力边界条件的情况。二、线性弹性理论的几个一般原理ò叠加原理考虑同一弹性体的两组载荷情况()11()()111()()ftu,,⇒εσ,iiiijij()22()()222()()ftu,,⇒εσ,iiiijij若两组载荷同时作用⎯2⎯研究生学位课弹塑性力学电子讲义姚振汉()12()()12()fff=+ttt=+iiiiii则()12()()12()()12()uuu=+εεεσσσ=+=+iiiijijijijijij由于线弹性、小变形问题的变形和载荷满足线性偏微分方程与线性边
6、界条件，因此从数学上叠加原理易证。例如，对于静定问题，若()11()()22()σσ,,+=ffV00+=∀x∈ijjiijji()11()()22()ntσσ==nt∀x∈Sjijijiji则()12()()12()()σσij++ij,jffi+=i0∀x∈V()1212()()()ntji()σσj+=+ijiti∀x∈S实际上，任何线性问题都满足类似的叠加原理。同时，对于线弹性小变形问题，当所有载荷按某一比例增加或减小时，变形状态各量也都以同样比例增大或减小。叠加原理有一个重要的应用：非齐次方程解等于非齐次方程的任一特解和
7、相应齐次方程解之和。对于弹性力学问题，通常非齐次项是载荷项，它在空间的分布比较简单（例如重力、离心力等），因此非齐次方程的特解比较容易求得，整个求解问题就主要归结为求解齐次方程解的问题。任何非线性问题，叠加原理就不再成立。因此，叠加原理是线性问题所特有的性质。ò解的唯一性定理因为物理上对弹性体施加载荷就会产生变形，数学上已经证明对于线弹性问题的适定提法解一定是存在的。本课程的重点不在数学弹性理论，因此对于解的存在性就不加证明了。对于解的唯一性，即Kirchhoff唯一性定理的证明可用反证法。假如在一组载荷ft,作用下产生了两组变形
8、状态ii()111222()()()()()uu,,;,,εσεσiijijiijij则利用叠加原理可知⎯3⎯第四章弹性力学的基本方程与解法()12()()12()()12()uuu=−,,εεεσσσ=−=−iiiijijijijijij将满足齐
