弹塑性力学课件

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1、张量概述张量的运算和性质张量分析初步.第二讲：张量分析基础弹塑性力学研究生核心课程.任晓丹同济大学建筑工程系September26,2016任晓丹第二讲：张量分析基础张量概述张量的运算和性质张量分析初步本节主要内容1.张量概述2.张量的运算和性质3.张量分析初步任晓丹第二讲：张量分析基础张量概述张量的运算和性质张量分析初步Why？弹塑性力学的三要素：非线性、多维、基础。张量是适用于多维函数、方程以及微分系统等的表示工具。张量的本质是（多维、一般）线性变换。任晓丹第二讲：张量分析基础张量概述张量的运算和性质张量分析初步What？任晓丹第二讲：张量分

2、析基础张量概述张量的运算和性质张量分析初步标量标量x;y;x1;y1;::::::标量函数y=f(x);y1=g(x1);::::::线性标量函数(线性变换)f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)线性函数的表示f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)()y=ax任晓丹第二讲：张量分析基础张量概述张量的运算和性质张量分析初步向量向量TTx=[x1;x2;x3];y=[y1;y2;y3]向量的标量函数y=f(x)=f(x1;x2;x3)线性函数f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)∑()y=a1x1+a2x2+a3x3=aixi=a
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3、二讲：张量分析基础张量概述张量的运算和性质张量分析初步向量向量的向量函数8>:y3=f3(x1;x2;x3)线性函数8>:y3=a31x1+a32x2+a33x3j任晓丹第二讲：张量分析基础张量概述张量的运算和性质张量分析初步矩阵矩阵2323a11;a12;a13b11;b12;b13A=4a21;a22;a235;B=4b21;b22;b235a31;a32;a33b

4、31;b32;b33矩阵的标量函数y=f(B)线性函数f(A+B)=f(A)+f(B)∑()y=aijbij=A:Bi;j任晓丹第二讲：张量分析基础张量概述张量的运算和性质张量分析初步矩阵矩阵的向量函数8>:y3=f3(B)线性函数8∑>:2i;jijijkijij∑y3=a3biji;ji;jijWhat?[]TA=A1;A2;A3;y=A:B任晓丹第二讲：张量分析基础张量概述张量的运算和性质张量分析初步矩阵矩阵的矩阵（线性）函数2323C11;C12

5、;C13f11(B);f12(B);f13(B)C=4C21;C22;C235=4f21(B);f22(B);f23(B)5C31;C32;C33f31(B);f32(B);f33(B)2∑∑∑3a11ijbij;a12ijbij;a13ijbij∑i;j∑i;j∑i;j∑=4a21b;a22b;a23b5()C=aklb∑i;jijij∑i;jijij∑i;jijijklijija31ijbij;a32ijbij;a33ijbiji;ji;ji;ji;jWhat?23A11;A12;A13A=4A21;A22;A125;C=A:BA31;A32

6、;A33任晓丹第二讲：张量分析基础张量概述张量的运算和性质张量分析初步小结Table:张量的生成表格抽象形式指标表示指标算式抽象算式标量（0阶张量）aay=axy=ax∑向量（1阶张量）aaiy=∑iaixiy=a
x2阶张量（矩阵）Aaijyj=∑iaijxiy=A(
)x3阶张量Aaky=akby=A:Bijk∑i;jijij4阶张量AaklC=aklbC=A:Bijkli;jijij任晓丹第二讲：张量分析基础张量概述张量的运算和性质张量分析初步小结张量是标量、向量、矩阵的自然延伸，是表征高维复杂线性关系的基本工具。这里的“线性”不仅指线性代

7、数运算，后续还会推广到微分、积分等线性分析运算。张量的指标是张量运算的重要工具，须特别注意。前述张量的表达，数学的推导和表示等，并不严密，目的是建立基本概念，后续学习中将采用更为严格的方式定义和描述张量。任晓丹第二讲：张量分析基础张量概述张量的运算和性质张量分析初步Iadmiretheeleganceofyourmethodofcomputation;itmustbenicetoridethroughthesefieldsuponthehorseoftruemathematicswhilethelikeofushavetomakeourwayla

8、boriouslyonfoot.AlbertEinstein任晓丹第二讲：张量分析基础张量概述张量的运算和性质张量分析初步概述张量是描述