弹塑性力学——物理方程

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1、物理方程应力只取决于应变状态，与达到该状态的过程无关x=x(x，y，z，xy，yz，zx)y=y(x，y，z，xy，yz，zx)…….zx=zx(x，y，z，xy，yz，zx)一般表示对于线性弹性材料，应力与应变是线性关系x=c11x+c12y+c13z+c14xy+c15yz+c16zxy=c21x+c22y+c23z+c24xy+c25yz+c26zxz=c31x+c32y+c33z+c34xy+c35yz+c36zxxy=c41x+c42y+c43z+c44xy+c45yz+c46

2、zxyz=c51x+c52y+c53z+c54xy+c55yz+c56zxzx=c61x+c62y+c63z+c64xy+c65yz+c66zx系数cmn共36个取决于材料弹性性质，与坐标系选取有关张量形式表示ij=Cijklkl其中Cijkl称为四阶弹性张量，共81个分量。同样也取决于坐标系，服从四阶张量的坐标变换定律弹性张量的对称性（1）根据应力张量和应变张量的对称性Cijkl=Cjikl（2）根据应力张量和应变张量的对称性Cijkl=Cijlk独立的分量也是36个。（3）应变能存在，则弹性张量关于ij和kl也应对称Cijkl=Cklij独立的弹性常

3、数共有21个两种表示方式之间的关系弹性系数c的下标1、2、3、4、5、6对应于张量C的指标11、22、33、12、23、31例如：c11＝C1111c12＝C1122c13＝C1133c14＝C1112弹性系数cmn也应具有对称性cmn＝cnm材料对称性弹性对称面该面对称的两个方向具有相同的弹性关系以最后一个方程为例zx反号，而x，y，z和xy不变，c61＝c62＝c63＝c64＝0x=c11x+c12y+c13z+c14xyy=c12x+c22y+c23z+c24xyz=c13x+c23y+c33z+c34xyxy=c14x+c24y+

4、c34z+c44xyyz=c55yz+c56zxzx=c56yz+c66zx正交各向异性材料具有三个相互正交的弹性对称面。独立弹性常数减少到9个x=c11x+c12y+c13zy=c12x+c22y+c23zz=c13x+c23y+c33zxy=c44xyyz=c55yzzx=c66zx各种增强纤维复合材料和木材等属于这类材料横观各向同性材料存在一个弹性对称轴，在垂直该轴的平面内材料各向同性将x，y轴互换时，材料弹性关系不变c11=c22，c13=c23，c55=c66将坐标系绕z轴旋转450，剪切应力应变关系不变，c44=(c11c

5、12)x=c11x+c12y+c13zy=c12x+c11y+c13zz=c13x+c13y+c33zxy=(c11c12)xyyz=c55yzzx=c55zx独立的弹性常数减少到5个。例如：层状结构的岩体。各向同性弹性体广义Hooke定律将x轴与z轴互换，或将y轴与z轴互换时，材料弹性关系不变，c11=c33，c12=c13，c55=c66=(c11c12)于是，独立的弹性常数减少到2个x=c11x+c12y+c12zy=c12x+c11y+c12zz=c12x+c12y+c11zxy=(c11c12)xyyz=(

6、c11c12)yzzx=(c11c12)zx令c12=，c11c12=2G、G称为Lame弹性常数x=2Gx+xy=Gxyy=2Gy+yz=Gyzz=2Gz+zx=Gzx=x+y+z是体积应变广义Hooke定律的张量形式ij=kkij+2Gijij=CijklklCijkl=ijkl+G(ikjl+iljk)式中ij是二阶单位张量某个面上的剪切应力为零时，剪应变也为零应力的主方向与应变的主方向重合体积应力与体积应变关系将等式对应相加，可得平均应力与体积应变的关系：30=(2G+3)式中0=(

7、x+y+z)/3是平均应力。0=K式中K=(3+2G)/3是体积变形模量。偏应力与偏应变关系x=2Gx+sx+0=2G(ex+)+将体应力与体应变关系代入：sx=2Gex同理可得：sy=2Geysz=2Gez张量形式表示为sij=2Geij在线弹性范围内，偏应力只产生偏应变，即只产生形状改变，体积应力只产生体应变，即只产生体积改变。弹性常数之间的关系单轴拉伸使用物理关系，有：x=2Gx+(x+