弹塑性力学讲义 第五章线弹性力学问题的基本解法和一般性原理

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1、第五章线弹性力学问题的基本解法和一般性原理第1节基本方程和边界条件的汇总在第二、三、四章较全面的讨论了弹性变形体在承受外力作用时，发生变形和抗力（内力），这些变形和内力应遵循的三个基本规律，从而导出了待求物理量（应力、应变、位移）所须满足的基本方程，共十五个，现汇总如下。1.1基本方程汇总1.1.1平衡微分方程（3个）体力与应力之关系：指标符号表示ji,j+fi=0112131f011xxx123122232f20xxx1231323

2、33f03xxx1231.1.2几何方程（六个）或变形协调方程（六个）几何方程表示了位移与应变之关系，当由位移场确定应变场时仅利用几何方程就够了，但反之，应变场还需补充变性协调条件。a..几何方程1uu指标符号表示ij(i,jj,i)21uvwx，y，zxyzuvvwwuxy,yz，zxyxzyxzb.变形协调方程指标符号表示ij,klkl,ijik,jljl,ik0222222222x

3、yxyyzyzxzzx22,22，22yxxyzyzyzxxz22(yzzxxy)2x，yzzxxyy()2xxyzyzyxyzzx2yzzxxyz()2zxyzyx1.1.3本构（物理）方程（六个）wEij线性时ijijklkl各向同性ij2GijijijkkE指标符号表示()ijijkk(1

4、)1(1)ijijijkkEE上述所有方程为ij、ij、ui在V上必须满足的方程，同时在S上（边界上）有边界力或边界位移。21.2边界条件1.2.1力的边界条件FiXinjji在S上Xlxmyxnzxn111n221n331Ylxymynzyn112n222n332Zlxzmyznzn113n223n3331.2.2位移边界条件uiui在Su上uu、vv、ww由三个基本规律导出的应力、应变和位移满足的基

5、本方程加上相应的边界条件建立了线弹性问题解析法（微分提法）体系，从数学上看是求偏微分方程组的边值问题。当S=S时称为微分方程第一边值问题；当Su=S时称为偏微分方程第二边值问题；当Su+S=S称为偏微分方程第三边值问题。第2节位移法弹性力学问题的待求函数共15个（ij、ij、ui），如果一视同仁的同等看待，由给定的边界条件下求偏微分方程组的定解是不可能的。由物理量所满足的方程组中显示出来）。为了有效地求解，从15个量中选取一部分作为基本待求未知函数，而其它待求函数看成由基本待求函数导出的未知函数，这样使得求

6、解方程减少，且主攻方向明确（求基本未知量），基本未知函数选取不同，导出的求解步骤和方程名称不同，如：位移法、应3力法和混合法。位移法：选取ui为基本未知函数，而ij和ij均看成是由ui导出的未知函数，这样15个方程中某些方程成为的uiijij关系式。几何方程物理方程基本未知应变kl用ui表示应力kl用ui表示函数uikl用ui表示用ui表示的力的边界条件（在S上）用ui表示的平衡微分方程求解ui的基本方程（3个）位移边界条件（在Su上）：uiui用指标符号表示1uu应变用位移表示ij(i

7、,jj,i)2线性各向同性材料的应力用位移表示：ijG(ui,juj,i)ijuk,k上式代入平衡微分方程，得到位移法的基本方程G(ui,juj,i),jijuk,kjfi0在V上2或Gui(G)uj,jifi0在V上（拉米－纳维叶方程）由于uj,je——为体积应变2Gui(G)e,ifi0在V上4边界条件：a.uiui在Su上b.XnjjinjG(ui,juj,i)ijuk,k在S上或XinjG(ui,juj,i)niuk,k在S上

8、力的边界条件转为用ui的偏微分表示的。这类边界条件从形式上看可以处理，但实际操作上有时较难处理。第3节应力法当边界条件均为力的边界条件时，即S=S时，如按位移法求解，则将力的边界条件转为用位移一阶偏微分表示有时较难处理。如果将ij作为基本未知量，力的边界条件可直接用，下面讨论一下用ij作为基本未知函数求解基本方程。选取ij为基本未知函数，而ij和u