弹塑性力学讲义 第十章弹性力学的能量原理

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1、第十章弹性力学的能量原理弹性力学的解法之一为弹性力学边值问题求解体系——静力法。在前面各章中就围绕平面问题、扭转问题和空间轴对称问题进行了具体分析和研究。弹性力学问题的解法还有另一种解法：以能量形来建立弹性力学求解方程——能量法（从数学意义上说也可认为变分法）。本章主要介绍几个基本能量原理以及基于能量原理的近似解法。在介绍能量原理以前，先介绍几个基本概念和术语。第一节几个基本概念和术语1.1应变能U和应变余能Uc：ijijdijUWdVU()应变能U在第四章中已定义过：VijijWW()应变能密度ij

2、ijij0Wij——弹性关系ij如果将几何关系引入应变能,U、W为位移的函数。UWdV应变余能（类似应变能）定义ccVijW应变余能密度ijij——单位体积的应变余能0Wc与积分路径无关，只与终止状态和初始状态有关。Wc=ijij为全微分Wcij——逆弹性关系ij且W+Wc=ijijijijW0ijdijijij0ijdijijijWc1当材料为线弹性时WWcijij2UUcijijdV但WW(ij),WcWc(ij)V在各向同

3、性线性材料，应力——应变关系Eij1ij12kkijE2UVijkklldV——徐芝纶的弹性力学上2(1)12册P.346（11－3）如在将几何关系引入上式U=U(ui)应变能是位移的函数徐芝纶的弹性力学上册P.346（11－5）1ij(1)ijkkij代入Uc表达式E12Uc(1)ijkklldV徐芝纶的弹性力学2EV上册P.346（11－1）(k)(k)1.2可能位移ui和可能应变ij：(k)(k)可能位移ui：在V内

4、连续且可微，在su上满足uiui。(k)(k)可能应变ij：由ui通过几何方程导出的(k)1(k)(k)ij(ui,juj,i)2(k)1.3可能应力ij：(k)(k)可能应力ij：在V内满足ij,j+fi=0(k)在s上满足Xinjij满足静力方程1.4虚位移ui和虚应变ij：(k1)(k2)两种可能位移ui和ui之差称为虚位移ui，而由两种可能(k1)(k2)位移状态对应的可能应变ij、ij之差ij=(ui,j+uj,i)/2在V内ui=0在su上齐次位移边界条件。1.5虚应力ij：

5、(k1)(k2)ij=ij-ij；在V内：ij,j=0；在s上:njij=0；满足齐次静力方程。第二节虚功方程2.1虚功方程在给定体力、面力和约束情况下，S如果找到两种状态:Su第一种状态：在给定的体力fi和面力Xi，已知（找到）可能应(k1)(k1)(k1)力状态ij，在V内：ij+fi=0;在s=s:Xinjij(k2)(k2)第二种状态：弹性体处于可能变形状态ui、ij;u(k2)u在s=su:ii;则第一种状态外力在第二种状态可能位移作的外力虚功等于第一种状态可能应力在第二种状态可能应变上作

6、的虚变形功。——虚功原理Wfu(k2)dVXu(k2)dS(k1)(k2)dVWeViiSiiVijiji2.2虚功方程的证明：X(k1)u(k2)dSn(k1)u(k2)dS((k1)u(k2))dVSiiSjijiViji,j(k1)u(k2)dV(k1)u(k2)dVij,jiiji,jVV1(k1)u(k2)1(k1)u(k2)iji,jjij,i22(k1)u(k2)dV(k1)(k2)dVij,jiijijVV代入虚功方程左端，得Wfu(k2)dV(k1

7、)u(k2)dV(k1)(k2)dVeViiVij,jiVijij(k1)fu(k2)dV，则W并注意V(ij,ji)i0e=Wi虚功方程未涉及本构关系，所有在各种材料性质虚功方程成立。虚功方程虽然对两种不相干的可能状态成立，但一般应用是一种为真实状态，另一种为虚设可能状态（虚设状态）。qP=1第三节功的互等定理将虚功方程用于线弹性体可导出功的互等定理。同一弹性体处于两种真实状态。f(1)(1)(1)(1)(1)(1)第一种状态：i、Xi、ui、ij、ij、ui满足所有方程。(2)X(2)u(2)、(2)、

8、(2)、u(2)满足所有方第二种状态：fi、i、iijiji程。根据虚功方程第一种状态的外力在第二种状态的相应弹性位移上做功(1)(2)(1)(2)(1)(2)W12VfiuidVSXiuidSViji