弹塑性力学讲义应力

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1、弹塑性力学讲义应力第1章应力1.1应力矢量物体受外力作用后，其内部将产生内力，即物体本身不同部分之间相互作用的力。为了描述内力场，Chauchy引进了应力的重要概念。对于处于平衡状态的物体，假想使用一个过P点的平面C将其截开成A和B两部分。如将B部分移去，则B对A的作用应以分布的内力代替。考察平面C上包括P点在内的微小面积，如图1.1所示。设微面外法线（平面C的外法线）为n，微面面积为?S，作用在微面上的内力合力为?F，则该微面上的平均内力集度为?F/?S，于是，P点的内力集度可使用应力矢量T(n)，定义为T(n)=limC?F?S?s?0??SzAPnFy图1.1应力矢量定义在笛卡儿坐

2、标系下，使用ex，ey和ez表示坐标轴的单位基矢量，应力矢量可以表示为T(n)=Txex+Tyey+Tzez（1.1）式中Tx、Ty和Tz是应力矢量沿坐标轴的分量。上篇弹性力学第1章应力除进行公式推导外，通常很少使用应力矢量的坐标分量Tx、Ty和Tz。实际应用中，往往需要知道应力矢量沿微面法线方向和切线方向的分量，沿法线方向的应力分量称为正应力，沿切线方向的应力分量称为剪应力。显而易见，应力矢量的大小和方向不仅取决于P点的空间位置，而且还与所取截面的法线方向n有关，即作用在同一点不同法线方向微面上的应力矢量不同。所有这些应力矢量构成该点的应力状态。由应力矢量的定义并结合作用力与反作用力定

3、律，在同一点，外法线为?n微面上的应力矢量为：T(?n)=?T(n)（1.2）1.2应力张量人们讨论问题常常是在笛卡儿坐标中进行，因此，我们使用六个与坐标面平行的平面从图1.1中P点的邻域截取一个微六面体，如图1.2所示。在这个微六面体中，若微面的外法线方向与坐标正方向一致，则称为正面；若与坐标正方向相反，则称为负面。因此有三个正面和三个负面。图1.2一点的应力状态8上篇弹性力学第1章应力考察作用在法线为ex，ey和ez三个正面上的应力矢量T(ex)、T(ey)和T(ez)，每个应力矢量沿空间坐标轴ex，ey和ez有三个分量，其中一个分量垂直于作用面，是正应力，两个分量平行于作用面，是剪

4、应力，于是T(ex)＝?xex+?xyey+?xzezT(ey)＝?yxex+?yey+?yzezT(ez)＝?zxex+?zyey+?zez（1.3）三个应力矢量共9个分量，构成应力张量在笛卡儿坐标系下的9个分量??x?xy?xz???yx?y?yz???zx?zy?z?????对角上的元素是正应力，非对角上的元素是剪应力，剪应力有两个下标，前一个下标代表作用面的法线方向，后一下标代表力的作用方向。在使用张量表述的教科书里，下标x、y、z往往用1、2、3取代，九个应力分量常记为：??11?12?13?????21?22?23????31?32?33????ij应力正、负号规定是：正面上

5、的应力若指向坐标轴正方向为正，否则为负；负面的应力若指向坐标轴负方向为正，否则为负。这个规定正好反映了作用力与反作用力定律。图1.2中的应力均为正值。式（1.3）使用张量可以表示为T(ei)＝?ikek（1.3a）应当指出：物体内各点的应力状态，一般说来是不同的，为非均匀分布，即各点的应力分量应为空间坐标x、y、z的函数。所以，应力张量?ij与给定的空间位置有关，提及应力张量总是针对物体中的某一确定点而言的。从下节中我们将知道，应力张量?ij完全确定了一点的应力状态。1.3Chauchy公式（斜面应力公式）一点的应力状态中，若已知三个互相垂直面上的应力矢量，其它任意一斜面上9上篇弹性力学

6、第1章应力的应力矢量可从该点的平衡条件中导出。图1.3所示的微四面体由三个负面和一个斜面组成，设斜面的外法线单位矢量为n＝lex+mey+nez（1.3b）斜面?ABC的面积为dS，则三个负面的面积分别是?BOC=ldS?AOC=mdS?AOB=ndS四面体的体积为dV=式中dh是四面体的高。zCT(-ex)13dhdSnT(-ey)z?T(n)?exyT(-ez)y?图1.3四面体上的应力矢量由微四面体的平衡条件得：T(n)dS+T(?ex)ldS+T(?ey)mdS+T(?ez)ndS+X13dhdS=0式中X是单位体积力矢量，T(?ex)、T(?ey)和T(?ez)分别是法向为?e

7、x，?ey和?ez微面上的应力矢量。上式中的最后一项是比前面项高一阶的小量，可忽略不计，考虑式（1.2），上式可表示为T(n)＝T(ex)l+T(ey)m+T(ez)n（1.4）这就是著名的Chauchy公式，又称为斜截面应力公式，其实质是微四面体的平衡条10上篇弹性力学第1章应力件。将斜面应力矢量T(n)沿坐标轴方向分解T(n)＝Txex+Tyey+Tzez（1.5）注意：Tx、Ty、Tz是T(n)沿坐标轴方向的分量，一般不是斜截