2019年 《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理ppt课件.ppt

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1、第五章线弹性力学问题的基本解法和一般性原理§5-3应力法§5-1基本方程和边界条件的汇总§5-2位移法§5-4线弹性力学的几个原理§5-5线弹性力学的几个简单问题的求解9/19/20211§5-1基本方程和边界条件的汇总在第二、三、四章较全面的讨论了弹性变形体在承受外力作用时，发生变形和抗力（内力），这些变形和内力应遵循的三个基本规律，从而导出了待求物理量（应力、应变、位移）所须满足的基本方程，共十五个，现汇总如下。9/19/20212§5-1基本方程和边界条件的汇总1.1基本方程汇总1.1.1平衡微分方程（3个

2、）体力与应力之关系：指标符号表示ji,j+fi=09/19/20213§5-1基本方程和边界条件的汇总1.1.2几何方程（六个）或变形协调方程（六个）几何方程表示了位移与应变之关系，当由位移场确定应变场时仅利用几何方程就够了，但反之，应变场还需补充变性协调条件。9/19/20214§5-1基本方程和边界条件的汇总a.几何方程指标符号表示9/19/20215b.变形协调方程指标符号表示§5-1基本方程和边界条件的汇总9/19/20216b.变形协调方程§5-1基本方程和边界条件的汇总9/19/20217§5-1基

3、本方程和边界条件的汇总1.3本构（物理）方程（六个）指标符号表示9/19/20218§5-1基本方程和边界条件的汇总1.3本构（物理）方程（六个）指标符号表示上述所有方程为ij、ij、ui在V上必须满足的方程，同时在S上（边界上）有边界力或边界位移。9/19/20219§5-1基本方程和边界条件的汇总1.2边界条件1.2.1力的边界条件在S上9/19/202110§5-1基本方程和边界条件的汇总1.2.2位移边界条件在Su上由三个基本规律导出的应力、应变和位移满足的基本方程加上相应的边界条件建立了线弹性问题

4、解析法（微分提法）体系，从数学上看是求偏微分方程组的边值问题。9/19/202111§5-1基本方程和边界条件的汇总当S=S时称为微分方程第一边值问题；当Su=S时称为偏微分方程第二边值问题；当Su+S=S称为偏微分方程第三边值问题。9/19/202112§5-2位移法弹性力学问题的待求函数共15个（ij、ij、ui），如果一视同仁的同等看待，由给定的边界条件下求偏微分方程组的定解是不可能的。由物理量所满足的方程组中显示出来）。9/19/202113§5-2位移法为了有效地求解，从15个量中选取一部分作为

5、基本待求未知函数，而其它待求函数看成由基本待求函数导出的未知函数，这样使得求解方程减少，且主攻方向明确（求基本未知量），基本未知函数选取不同，导出的求解步骤和方程名称不同，如：位移法、应力法和混合法。9/19/202114§5-2位移法位移法求解思想：选取ui为基本未知函数，而ij和ij均看成是由ui导出的未知函数，这样15个方程中某些方程成为的uiijij关系式。9/19/202115§5-2位移法位移法基本步骤：基本未知函数ui应变kl用ui表示应力kl用ui表示用ui表示的平衡微分方程用ui

6、表示的力的边界条件（在S上）位移边界条件（在Su上）几何方程物理方程kl用ui表示9/19/202116§5-2位移法位移法的基本方程（3个）推导（用指标符号表示）应变用位移表示线性各向同性材料的应力用位移表示：9/19/202117§5-2位移法上式代入平衡微分方程，得到位移法的基本方程在V上或在V上（拉米－纳维叶方程）9/19/202118§5-2位移法由于——为体积应变在V上边界条件：a.（在Su上）b.(在S上)或(在S上)9/19/202119§5-2位移法力的边界条件转为用ui的偏微分表示的。

7、这类边界条件从形式上看可以处理，但实际操作上有时较难处理。9/19/202120§5-3应力法如果将ij作为基本未知量，力的边界条件可直接用，下面讨论一下用ij作为基本未知函数求解基本方程。选取ij为基本未知函数，而ij和ui均看成是由ij导出的未知函数，这样15个方程中某些方程成为的ijijui关系式。9/19/202121§5-3应力法基本未知函数ij应变kl用ij表示uk用ij表示平衡微分方程(3个)力的边界条件（在S上）变形协调方程用ij表示（6个）物理方程几何方程积分几何

8、方程可积条件9/19/202122§5-3应力法求解ij的基本方程（9个）用指标符号表示的基本方程ji,j+fi=0在V上在V上力的边界条件在S上9/19/202123§5-4线弹性力学的几个原理4.1叠加原理设线弹性体体积为V，表面为S，如果两组外力（体力和面力）同时作用在物体上所产生的效果（应力、应变和位移）等于它们分别作用所产生的效果之和。由于线弹性力学的求解