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1、2016年北京市东城区高二理科上学期人教A版数学期末测试试卷一、选择题（共8小题；共40分）1.直线3x−y+1=0的倾斜角的大小为 A.30∘B.60∘C.120∘D.150∘2.已知a∈R，命题“∀x∈0,+∞，等式lnx=a成立”的否定形式是 A.∀x∈0,+∞，等式lnx=a不成立B.∀x∈−∞,0，等式lnx=a不成立C.∃x0∈0,+∞，等式lnx0=a不成立D.∃x0∈−∞,0，等式lnx0=a不成立3.若焦点在x轴上的椭圆C：x2a2+y25=1a>0的离心率为23，则a的值为 A.9B.6C.3D.24.某几何体的三视图如
2、图所示，其中正视图是边长为2的正方形，俯视图是正三角形，则这个几何体的体积是 A.23B.43C.233D.85.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β，下列命题中正确的是 A.若α⊥β，则m⊥nB.若α∥β，则m∥nC.若m⊥n，则α⊥βD.若n⊥α，则α⊥β6.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=12AA1，E为BC的中点，则异面直线A1E与D1C1所成角的正切值为 第9页（共9页）A.2B.455C.172D.221217.已知A−3,0，B0,4，点P为直线y=x上一点，过A，B，P三点
3、的圆记作圆C，则“点P为原点”是“圆C的半径取得最小值”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.图中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律．对捕食者和被捕食者数量之间的关系描述正确的是 A.B.C.D.二、填空题（共6小题；共30分）9.点−1,1到直线x+y−2=0的距离为 ．10.双曲线x24−y2=1的渐近线方程为 ．11.若x，y满足约束条件x−y+1≥0,x+y−3≥0,x−3≤0,则z=x+2y的最小值为 ．12.已知球的体积为36π，球的表面积是 ．13.已知点
4、M2,26，点F为抛物线y2=2pxp>0的焦点，点P是该抛物线上的一个动点．若∣PF∣+∣PM∣的最小值为5，则p的值为 ．14.已知直线lk:y=kx+k2k∈R，下列说法中正确的是 ．（注：把你认为所有正确选项的序号均填上）第9页（共9页）①lk与抛物线y=−x24均相切；②lk与圆x2+y+12=1均无交点；③存在直线l，使得l与lk均不相交；④对任意的i,j∈R，直线li，lj相交．三、解答题（共6小题；共78分）15.已知△ABC的顶点A5,1，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x−y−5=0，AC边上的高BH所在的直线方程为x−2
5、y−5=0．求：（1）AC所在的直线方程；（2）点B的坐标．16.三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC，侧棱AA1⊥平面ABC，E，F分别为A1B1，A1C1的中点．（1）求证：B1C1∥面BEF；（2）过点A存在一条直线与平面BEF垂直，请你在图中画出这条直线（保留作图痕迹，不必说明理由）．17.已知圆C的圆心在直线x−3y=0上，且与y轴相切于点0,1．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线l：x−y+m=0交于A，B两点，分别连接圆心C与A，B两点，若CA⊥CB，求m的值．18.如图1，在等边△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC
6、的中点．将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A−BCF．（1）证明：AF⊥BC；（2）当∠BFC=120∘时，求二面角A−DE−F的余弦值．（3）在（2）的条件下，在线段BC上是否存在一点N，使得平面ABF⊥平面FDN?若存在，求出∣BN∣∣BC∣的值；若不存在，说明理由．19.已知动点P到点A−2,0与点B2,0的斜率之积为−14，点P的轨迹为曲线C．第9页（共9页）（1）求曲线C的轨迹方程；（2）过点D1,0作直线l与曲线C交于P，Q两点，连接PB，QB分别与直线x=3交于M，N两点．若△BPQ和△BMN的面积相等，求直线l的方程．2
7、0.在平面直角坐标系中，设Ax1,y1，Bx2,y2．定义：dαA,B=x1−x2α+y1−y2α1α，其中α∈R+（R+表示正实数）．（1）设A1,1，B2,3，求d1A,B和d2A,B的值；（2）求证：对平面中任意两点A和B都有d2A,B≤d1A,B≤2d2A,B；（3）设Mx,y，O为原点，记Dα=Mx,ydαM,O≤1,α∈R+．若0<α<β，试写出Dα与Dβ的关系（只需写出结论，不必证明）．第9页（共9页）答案第一部分1.B【解析】设直线3x−y+1=0的倾斜角为θ，则tanθ=3，θ∈0∘,180∘．所以θ=60∘．2.C3.C4.A
8、5.D【解析】对于A，若α⊥β，则m，n位置关系不定，不正确；对于B，若α∥β，则m∥n或m，n异面，不正确；对于C，若m⊥n，则α，β
