2016-2017学年北京市海淀区九上期末数学试卷

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2016-2017学年北京市海淀区九上期末数学试卷一、选择题（共10小题；共50分）1.抛物线y=−12x+12+3的顶点坐标  A.1,3B.1,−3C.−1,−3D.−1,32.如图，在△ABC中，D为AB的中点，DE∥BC交AC于E点，则△ADE与△ABC的面积比为  A.1:1B.1:2C.1:3D.1:43.方程x2−x=0的解是  A.x=0B.x=1C.x1=0，x2=1D.x1=0，x2=−14.如图，在△ABC中，∠A=90∘，若AB=8，AC=6，则cosC的值为  A.35B.45C.34D.435.下列各点中，抛物线y=x2−4x−4经过的点是  A.0,4B.1,−7C.−1,−1D.2,86.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOC=100∘，则∠ABC的大小为  A.100∘B.50∘C.130∘D.80∘7.一个扇形的圆心角是120∘，面积为3π cm2，那么这个扇形的半径是  A.1 cmB.3 cmC.6 cmD.9 cm8.反比例函数y=3x的图象经过点−1,y1，2,y2，则下列关系正确的是  A.y1y2C.y1=y2D.不能确定第17页（共17页） 9.抛物线y=x−12+t与x轴的两个交点之间的距离为4，则t的值是  A.−1B.−2C.−3D.−410.当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的函数，如表记录了一组实验数据，则P与V的函数关系式可能是  V单位:m311.522.53P单位:kPa96644838.432A.P=96VB.P=−16V+112C.P=16V2−96V+176D.P=96V二、填空题（共6小题；共30分）11.已知∠A为锐角，若sinA=22，则∠A= 度．12.写出一个图象在第二、四象限的反比例函数 ．13.如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD和BC交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OD，OB=3OC），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上，若CD=3.2 cm，则AB的长为 cm．14.如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点为位似中心，线段AB与线段AʹBʹ是位似图形，若A−1,2，B−1,0，Aʹ−2,4，则Bʹ的坐标为 ．15.若关于x的方程x2−mx+m=0有两个相等实数根，则代数式2m2−8m+1的值为 ．16.下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程．如图1，已知圆上一点A，画过A点的圆的切线．画法：（1）如图2，将三角板的直角顶点放在圆上任一点C（与点A不重合）处，使其一直角边经过点A，另一条直角边与圆交于B点，连接AB；第17页（共17页） （2）如图3，将三角板的直角顶点与点A重合，使一条直角边经过点B，画出另一条直角边所在的直线AD．所以直线AD就是过点A的圆的切线．请回答：该画图的依据是 ．三、解答题（共13小题；共169分）17.计算：22−2sin30∘−π−30+∣−3∣．18.如图，在△ABC中，∠C=90∘，E是BC上一点，ED⊥AB，垂足为D．求证：△ABC∽△EBD．19.若二次函数y=x2+bx+c的图象经过0,1和1,−2两点，求此二次函数的表达式．20.已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10 A，那么用电器的可变电阻R应控制在什么范围?请根据图象，直接写出结果 ．21.已知矩形的一边长为x，且相邻两边长的和为10．（1）求矩形面积S与边长x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）求矩形面积S的最大值．22.如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30∘，看这栋楼底部C处的俯角为60∘，热气球与楼的水平距离AD为100米，试求这栋楼的高度BC．第17页（共17页） 23.在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，P为BC边上一点，△APD为等腰三角形．（1）小明画出了一个满足条件的△APD，其中PA=PD，如图1所示，则tan∠BAP的值为 ；（2）请你在图2中再画出一个满足条件的△APD（与小明的不同），并求此时tan∠BAP的值．24.如图，直线y=ax−4a≠0与双曲线y=kx只有一个公共点A1,−2．（1）求k与a的值；（2）若直线y=ax+ba≠0与双曲线y=kx有两个公共点，请直接写出b的取值范围．25.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AM是△ACD的外角∠DAF的平分线．第17页（共17页） （1）求证：AM是⊙O的切线；（2）若∠D=60∘，AD=2，射线CO与AM交于N点，请写出求ON长的思路．26.有这样一个问题：探究函数y=12x−1x−2x−3+x的性质．（1）先从简单情况开始探究：①当函数y=12x−1+x时，y随x增大而 （填“增大”或“减小”）；②当函数y=12x−1x−2+x时，它的图象与直线y=x的交点坐标为 ；（2）当函数y=12x−1x−2x−3+x时，如表为其y与x的几组对应值．x⋯−1201322523492⋯y⋯−11316−312716237163717716⋯①如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象；②根据画出的函数图象，写出该函数的一条性质： ．27.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2−4mx+4m+3的顶点为A．第17页（共17页） （1）求点A的坐标；（2）将线段OA沿x轴向右平移2个单位长度得到线段OʹAʹ．①直接写出点Oʹ和Aʹ的坐标；②若抛物线y=mx2−4mx+4m+3与四边形AOOʹAʹ有且只有两个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围．28.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P是△ABC内一点，且∠PAC+∠PCA=α2，连接PB，试探究PA，PB，PC满足的等量关系．（1）当α=60∘时，将△ABP绕点A逆时针旋转60∘得到△ACPʹ，连接PPʹ，如图1所示．由△ABP≌△ACPʹ可以证得△APPʹ是等边三角形，再由∠PAC+∠PCA=30∘可得∠APC的大小为 度，进而得到△CPPʹ是直角三角形，这样可以得到PA，PB，PC满足的等量关系为 ；（2）如图2，当α=120∘时，参考（1）中的方法，探究PA，PB，PC满足的等量关系，并给出证明；（3）PA，PB，PC满足的等量关系为 ．29.定义：点P为△ABC内部或边上的点，若满足△PAB，△PBC，△PAC至少有一个三角形与△ABC相似（点P不与△ABC顶点重合），则称点P为△ABC的自相似点．例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P为△ABC的自相似点．在平面直角坐标系xOy中．第17页（共17页） （1）点A坐标为2,23，AB⊥x轴于B点，在E2,1，F32,32，G12,32这三个点中，其中是△AOB自相似点的是 （填字母）；（2）若点M是曲线C:y=kxk>0,x>0上的一个动点，N为x轴正半轴上一个动点；①如图2，若k=33，M点横坐标为3，且NM=NO，点P是△MON的自相似点，求点P的坐标；②若k=1，点N为2,0，且△MON的自相似点有2个，则曲线C上满足这样条件的点M共有 个，请在图3中画出这些点（保留必要的画图痕迹）．第17页（共17页） 答案第一部分1.D2.D【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵D是边AB的中点，∴AD:AB=1:2，∴S△ADES△ABC=ADAB2=14．3.C【解析】x2−x=0,xx−1=0,x=0或x−1=0,解得x1=0，x2=1．4.A【解析】因为∠A=90∘，AB=8，AC=6，所以BC=AB2+AC2=10，所以cosC=ACBC=610=35．5.B【解析】当x=0时，y=x2−4x−4=−4；当x=1时，y=x2−4x−4=−7；当x=−1时，y=x2−4x−4=1；当x=2时，y=x2−4x−4=−8，所以点1,−7在抛物线y=x2−4x−4上．6.C7.B【解析】设扇形的半径为R，由题意：3π=120π⋅R2360，解得R=±3，∵R>0，∴R=3 cm，∴这个扇形的半径为3 cm．8.A【解析】∵反比例函数y=3x的图象经过点−1,y1，2,y2，∴y1=−3，y2=32，∵−3<32，∴y10）．      （2）R≥3.6【解析】∵I≤10，I=36R，∴I=36R≤10，∴R≥3.6，即用电器可变电阻应控制在3.6 Ω以上的范围内．21.（1）∵矩形的一边长为x，则另一边长为10−x，则S=x10−x=−x2+10x00，解得：b<−4或b>4．25.（1）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴AB垂直平分CD，∴AC=AD，∴∠BAD=12∠CAD，∵AM是△ACD的外角∠DAF的平分线，∴∠DAM=12∠FAD，∴∠BAM=12∠CAD+∠FAD=90∘，∴AB⊥AM，第17页（共17页） ∴AM是⊙O的切线．      （2）思路：①如图，连接BC，BD，由AB⊥CD，AB是⊙O的直径，可得BC=BD，AC=AD，∠1=∠3=12∠CAD；②由∠ADC=60∘，AD=2，可得△ACD为边长为2的等边三角形，∠1=∠3=30∘；③由OA=OC，可得∠3=∠4=30∘；④由∠CAN=∠3+∠OAN=120∘，可得∠5=∠4=30∘，AN=AC=AD=2；⑤由△OAN为含有30∘的直角三角形，AN=2，可求ON的长．26.（1）增大；1,1，2,2【解析】①∵y=12x−1+x=32x−12，32>0，∴y随x增大而增大．②解方程组y=12x−1x−2+x,y=x,得：x=1,y=1或x=2,y=2.∴两函数的交点坐标为1,1，2,2．      （2）①②y随x增大而增大（答案不唯一）【解析】该函数的性质有多条，举例如下：Ⅰ．y随x的增大而增大；Ⅱ．函数的图象经过第一、三、四象限；Ⅲ．函数的图象与x轴y轴各有一个交点．从以上性质中任选一条或其他合理答案均可．第17页（共17页） 27.（1）∵y=mx2−4mx+4m+3=mx2−4x+4+3=mx−22+3.∴抛物线的顶点A的坐标为2,3．      （2）①Aʹ4,3，Oʹ2,0；②如图，∵抛物线y=mx2−4mx+4m+3与四边形AOOʹAʹ有且只有两个公共点，∴m<0．由图象可知，抛物线是始终和四边形AOOʹAʹ的边OʹAʹ相交，∴抛物线至少和四边形AOOʹAʹ有两个公共点，∴若使抛物线与四边形有且只有两个公共点，则抛物线与OA，OOʹ没有交点，∴将0,0代入y=mx2−4mx+4m+3中，得m=−34．∴m的取值范围是−34