2017-2018学年北京市海淀区九上期中数学试卷

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2017-2018学年北京市海淀区九上期中数学试卷一、选择题（共8小题；共40分）1.一元二次方程3x2−6x−1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是  A.3，6，1B.3，6，−1C.3，−6，1D.3，−6，−12.把抛物线y=x2向上平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为  A.y=x2+1B.y=x2−1C.y=−x2+1D.y=−x2−13.如图，A，B，C是⊙O上的三个点．若∠C=35∘，则∠AOB的大小为  A.35∘B.55∘C.65∘D.70∘4.下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是  A.B.C.D.5.用配方法解方程x2−4x+2=0，下列配方正确的是  A.x−22=2B.x+22=2C.x−22=−2D.x−22=66.风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n∘后能与原来的图案重合，那么n的值可能是  A.45B.60C.90D.1207.二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c>mx+n的x的取值范围是  第12页（共12页） A.−30C.x<−3或x>1D.0”，“=”，或“<”）．15.如图，⊙O的半径OA与弦BC交于点D，若OD=3，AD=2，BD=CD，则BC的长为 ．16.下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程．已知：△ABC．求作：BC边上的高AD．作法：如图，（1）分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；（2）作直线PQ，交AC于点O；（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O，与CB的延长线交于点D，连接AD．线段AD即为所作的高．请回答：该尺规作图的依据是 ．第12页（共12页） 三、解答题（共12小题；共156分）17.解方程：x2−4x+3=0．18.如图，等边三角形ABC的边长为3，D是线段BC上的点，CD=2，以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．求CE的长．19.已知m是方程x2−3x+1=0的一个根，求m−32+m+2m−2的值．20.如图，在⊙O中，AB=CD．求证：∠B=∠C．21.如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG=2BE．设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．（1）y与x之间的函数关系式为 （不需写自变量的取值范围）；（2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，请问此时BE的长为多少米?22.关于x的一元二次方程x2+2m−1x+m2−1=0有两个不相等的实数根x=x1，x=x2．（1）求实数m的取值范围；（2）是否存在实数m，使得x1x2=0成立?如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．23.古代丝绸之路上的花剌子模地区曾经诞生过一位伟大的数学家——“代数学之父”阿尔·花拉子米．在研究一元二次方程解法的过程中，他觉得“有必要用几何学方式来证明曾用数字解释过的问题的正确性”．以x2+10x=39为例，花拉子米的几何解法如下：第12页（共12页） 如图，在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为x和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形．通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为x+  2=39+  ，从而得到此方程的正根是 ．24.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为1,0，点P的横坐标为2，将点A绕点P旋转，使它的对应点B恰好落在x轴上（不与A点重合）；再将点B绕点O逆时针旋转90∘得到点C．（1）直接写出点B和点C的坐标；（2）求经过A，B，C三点的抛物线的表达式．25.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点O作OD⊥BC交BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB=6，求四边形CAOD的面积．26.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:y=x2−4x+4和直线l:y=kx−2kk>0．第12页（共12页） （1）抛物线C的顶点D的坐标为 ；（2）请判断点D是否在直线l上，并说明理由；（3）记函数y=x2−4x+4,x≤2kx−2k,x>2的图象为G，M0,t，过点M垂直于y轴的直线与图象G交于Px1,y1，Qx2,y2．当1d2，则称d2为点P的“引力值”．特别地，若点P在坐标轴上，则点P的“引力值”为0．例如，P−2,3到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，因为2<3，所以点P的“引力值”为2．（1）①A1,−4的“引力值”为 ；②若Ba,3的“引力值”为2，则a的值为 ；（2）若点C在直线y=−2x+4上，且点C的“引力值”为2，求点C的坐标；（3）已知M是以D3,4为圆心，半径为2的圆上的一个动点，那么点M的“引力值”d的取值范围是 ．28.在Rt△ABC中，斜边AC的中点M关于BC的对称点为点O，将△ABC绕点O顺时针旋转至△DCE，连接BD，BE，如图所示．（1）在①∠BOE，②∠ACD，③∠COE中，等于旋转角的是 （填出满足条件的的角的序号）；（2）若∠A=α，求∠BEC的大小（用含α的式子表示）；（3）N是BD的中点，连接MN，用等式表示线段MN与BE之间的数量关系，并证明．第12页（共12页） 答案第一部分1.D2.A3.D4.B5.A6.D7.A8.D第二部分9.1,−210.答案不唯一，例如y=x211.110∘12.213.0,114.>15.816.①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②直径所对的圆周角是直角；③两点确定一条直线第三部分17.x−1⋅x−3=0,所以x−1=0或x−3=0.所以x1=1,x2=3.18.如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠BAC=60∘．∴∠1+∠3=60∘．∵△ADE是等边三角形，第12页（共12页） ∴AD=AE，∠DAE=60∘．∴∠2+∠3=60∘．∴∠1=∠2．在△ABD和△ACE中AB=AC,∠1=∠2,AD=AE.∴△ABD≌△ACESAS．∴CE=BD．∵BC=3，CD=2，∴BD=BC−CD=1．∴CE=1．19.∵m是方程x2−3x+1=0的一个根，∴m2−3m+1=0．∴m2−3m=−1．∴原式=m2−6m+9+m2−4=2m2−3m+5=3.20.∵在⊙O中，AB=CD，∴∠AOB=∠COD．∵OA=OB，OC=OD，∴在△AOB中，∠B=90∘−12∠AOB，在△COD中，∠C=90∘−12∠COD．∴∠B=∠C．21.（1）y=−2x2+4x+16（或y=4−x4+2x）      （2）由题意，原正方形苗圃的面积为16平方米，得−2x2+4x+16=16.解得：x1=2,x2=0不合题意,舍去,答：此时BE的长为2米．22.（1）因为方程x2+2m−1x+m2−1=0有两个不相等的实数根，所以Δ=4m−12−4m2−1=−8m+8>0，所以m<1．      （2）存在实数m使得x1x2=0．x1x2=0，即是说x=0是原方程的一个根，则m2−1=0．解得：m=−1或m=1．当m=1时，方程为x2=0，有两个相等的实数根，与题意不符，舍去．所以m=−1．第12页（共12页） 23.5；25；3【解析】通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为x+52=39+25，从而得到此方程的正根是3．24.（1）点B的坐标为3,0，点C的坐标为0,3．      （2）方法1：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．因为它经过A1,0，B3,0，C0,3，则a+b+c=0,9a+3b+c=0,c=3,解得a=1,b=−4,c=3.所以经过A，B，C三点的抛物线的表达式为y=x2−4x+3．【解析】方法2：抛物线经过A1,0，B3,0，故可设其表达式为y=ax−1x−3a≠0．因为C0,3在抛物线上，所以a0−10−3=3，得a=1．所以经过A，B，C三点的抛物线的表达式为y=x2−4x+3．方法3：抛物线经过A1,0，B3,0，则其对称轴为直线x=2．设抛物线的表达式为y=ax−22+k．将A1,0，C0,3代入，得a+k=0,4a+k=3,解得a=1,k=−1.所以经过A，B，C三点的抛物线的表达式为y=x2−4x+3．25.（1）∵在⊙O中，OD⊥BC于点E，∴CE=BE，∵CD∥AB，∴∠DCE=∠B，在△DCE和△OBE中，∠DCE=∠B,CE=BE,∠CED=∠BEO.∴△DCE≌△OBE，∴DE=OE，∴E为OD的中点．      （2）连接OC，如图．∵AB是⊙O的直径，第12页（共12页） ∴∠ACB=90∘，∵OD⊥BC，∴∠CED=90∘=∠ACB，∴AC∥OD，∵CD∥AB，∴四边形CAOD是平行四边形，∵E是OD的中点，CE⊥OD，∴OC=CD，∵OC=OD，∴OC=OD=CD，∴△OCD是等边三角形，∴∠D=60∘，∴∠DCE=90∘−∠D=30∘，∴在Rt△CDE中，CD=2DE，∵BC=6，∴CE=BE=3，∵CE2+DE2=CD2=4DE2，∴DE=3，CD=23，∴OD=CD=23，∴S四边形CAOD=OD⋅CE=63．26.（1）2,0      （2）点D在直线l上，理由如下：直线l的表达式为y=kx−2kk>0，∵当x=2时，y=2k−2k=0，∴D2,0在直线l上．      （3）如图，不妨设点P在点Q左侧．由题意知：要使得x1+x2=4成立，即是要求点P与点Q关于直线x=2对称．又∵函数y=x2−4x+4的图象关于直线x=2对称，∴当12,10,x>2过y=x2−4x+4x>2与y=1的交点A3,1处，以及射线y=kx−2kk>0,x>2过y=x2−4x+4x>2与y=3的交点B2+3,3处．此时k=1以及k=3，故k的取值范围是1