2014-2015学年北京市海淀区九上期中数学试卷

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2014-2015学年北京海淀九年级上期中数学一、选择题（共8小题；共40分）1.下列图形中是中心对称图形是 ()A.B.C.D.2.将抛物线y=x2向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为 ()A.y=x2+1B.y=x2−1C.y=x+12D.y=x−123.袋子中装有4个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的情况下，随机从袋子中摸出1个球．下面说法正确的是 ()A.这个球一定是黑球B.这个球一定是白球C."摸出黑球"的可能性大D."摸出黑球"和"摸出白球"的可能性一样大4.用配方法解方程x2−2x−3=0时，配方后得到的方程为 ()A.x−12=4B.x−12=−4C.x+12=4D.x+12=−45.如图，⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，⊙O的半径为2，则AB的长为 ()A.π5B.2π5C.3π5D.4π56.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=59∘，则∠C等于 ()A.29∘B.31∘C.59∘D.62∘第13页（共13页） 7.已知二次函数y=x2−4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为1,0，则关于x的一元二次方程x2−4x+m=0的两个实数根是 ()A.x1=1，x2=−1B.x1=−1，x2=2C.x1=−1，x2=0D.x1=1，x2=38.如图，C是半圆O的直径AB上的一个动点（不与A，B重合），过C作AB的垂线交半圆于点D，以点D，C，O为顶点作矩形DCOE．若AB=10，设AC=x，矩形DCOE的面积为y，则下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是 ()A.B.C.D.二、填空题（共4小题；共20分）9.如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接AB．∠APB=60∘，AB=5，则PA的长是 ．10.若关于x的一元二次方程x2−4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为 ．11.在平面直角坐标系xOy中，函数y=x2的图象经过点Mx1,y1，Nx2,y2两点，若−4”号连接）12.如图，正方形ABCD中，点G为对角线AC上一点，AG=AB．∠CAE=15∘且AE=AC，连接GE．将线段AE绕点A逆时针旋转得到线段AF，使DF=GE，则∠CAF的度数为 ．第13页（共13页） 三、解答题（共13小题；共169分）13.解方程：x2+3x−1=0．14.如图，∠DAB=∠EAC，AB=AD，AC=AE．求证：BC=DE．15.已知二次函数的图象经过点0,1，且顶点坐标为2,5，求此二次函数的解析式．16.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=130∘，求∠OAC的度数．17.若x=1是关于x的一元二次方程x2−4mx+2m2=0的根，求代数式2m−12+3的值．18.某工厂废气年排放量为450万立方米，为改善空气质量，决定分两期治理，使废气的排放量减少到288万立方米．如果每期治理中废气减少的百分率相同，求每期减少的百分率．19.下图是某市某月1日至15日的空气质量指数趋势图，空气质量指数不大于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．（1）由图可知，该月1日至15日中空气重度污染的有 天；（2）小丁随机选择该月1日至15日中的某一天到达该市，求小丁到达该市当天空气质量优良的概率．20.已知关于x的方程ax2+a−3x−3=0a≠0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有两个不相等的负整数根，求整数a的值．21.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D=∠G=30．第13页（共13页） （1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若CD=6，求GF的长．22.小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数：x1，x2，x3，称为数列x1，x2，x3．计算x1，x1+x22，x1+x2+x33，将这三个数的最小值称为数列x1，x2，x3的价值．例如，对于数列2，−1，3，因为2，2+−12=12，2+−1+33=43，所以数列2，−1，3的价值为12．小丁进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值，如数列−1，2，3的价值是12；数列3，−1，2的价值为1；⋯⋯，经过研究，小丁发现，对于“2，−1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值最小的为12．（1）数列−4，−3，2的价值为 ；（2）将“−4，−3，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的价值的最小值为 ，取得价值最小值的数列为 （写出一个即可）；（3）将2，−9，aa>1这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，则a的值为 ．23.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−m−1x−mm>0与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A的坐标；（2）当S△ABC=15时，求该抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，经过点C的直线l：y=kx+bk<0与抛物线的另一个交点为D．该抛物线在直线l上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象．请结合图象回答：若新函数的最小值大于−8，求k的取值范围．第13页（共13页） 24.将线段AB绕点A逆时针旋转60∘得到线段AC，继续旋转α0∘<α<120∘得到线段AD，连接CD．（1）连接BD，（1）如图1，若α=80∘，则∠BDC的度数为 ；（2）在第二次旋转过程中，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数；若改变，请说明理由．（2）如图2，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B=∠ACD，连接CE，DE．若∠CED=90∘，求α的值．25.如图，在平面直角坐标系xOy中，点Pa,b在第一象限．以P为圆心的圆经过原点，与y轴的另一个交点为A．点Q是线段OA上的点（不与O，A重合），过点Q作PQ的垂线交⊙P于点Bm,n，其中m≥0．（1）若b=5，则点A坐标是 ；（2）在（1）的条件下，若OQ=8，求线段BQ的长；（3）若点P在函数y=x2x>0的图象上，且△BQP是等腰三角形．①直接写出实数a的取值范围： ；②在12，64，10这三个数中，线段PQ的长度可以为 ，并求出此时点B的坐标．第13页（共13页） 答案第一部分1.B2.A3.C4.A5.D【解析】如图．∵⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，⊙O的半径为2，∴∠AOB=360∘5=72∘．∴AB=72π×2180=45π．6.B7.D8.A【解析】根据题意结合图形，分情况讨论．如图．①当点C在半径OA上时，连接AD，BD．∵AB为半圆O的直径，∴∠ADB=90∘．∵DC⊥AB，∴DC2=AC⋅BC．∵AC=x，BC=10−x，∴DC=−x2+10x．∵OC=5−x，∴y=5−x−x2+10x．②当点C在半径OB上，即点Cʹ的位置时，同理可得y=x−5−x2+10x．所以，y与x之间的函数关系可以用两段非二次函数图象表示，只有A选项图象符合．第二部分9.5【解析】提示：根据切线长定理，知PA=PB．∴△ABP是等边三角形．10.411.>12.30∘或60∘第13页（共13页） 【解析】如图．∵线段AE绕点A逆时针旋转得到线段AF，∴AE=AF．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD．∵AG=AB，∴AD=AG．∵GE=DF，∴△AGE≌△ADF．∴∠DAF=∠CAE=15∘．∵AC为正方形ABCD的对角线，∴∠CAD=45∘．点F在AD的下方时，∠CAF=∠CAD−∠DAF=45∘−15∘=30∘．点F在AD的上方时，∠CAF=∠CAD+∠DAF=45∘+15∘=60∘．第三部分13.a=1，b=3，c=−1，Δ=32−4×1×−1=13>0．方程有两个不等的实数根x=−b±b2−4ac2a=−3±132.即x1=−3+132,x2=−3−132.14.∵∠DAB=∠EAC，∴∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE．∴∠DAE=∠BAC．在△BAC和△DAE中，AB=AD,∠BAC=∠DAE,AC=AE,∴△BAC≌△DAESAS．∴BC=DE．第13页（共13页） 15.设二次函数的解析式为y=ax−22+5a≠0．∵二次函数的图象经过点0,1，∴1=a0−22+5．∴a=−1．∴二次函数的解析式为y=−x2+4x+1．16.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180∘．∵∠ABC=130∘，∴∠ADC=180∘−∠ABC=50∘．∴∠AOC=2∠ADC=100∘．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．∴∠OAC=12180∘−∠AOC=40∘．17.∵x=1是方程x2−4mx+2m2=0的根，∴1−4m+2m2=0．∴2m2−4m=−1．原式=2m−12+3=2m2−2m+1+3=2m2−4m+5=−1+5=4.18.设每期减少的百分率为x．由题意，得4501−x2=288.解方程得x1=15,x2=95.经检验，x=95>1不合题意，舍去；x=15符合题意．答：每期减少的百分率为20%．19.（1）3      （2）小丁随机选择该月1日至15日中的某一天到达该市，则到达该市的日期有15种不同的选择，在其中任意一天到达的可能性相等．由图可知，其中有9天空气质量优良．所以P到达当天空气质量优良=915=35．20.（1）∵a≠0，∴原方程为一元二次方程．∴Δ=a−32−4×a×−3=a+32．∵a+32≥0．∴此方程总有两个实数根．第13页（共13页）       （2）∵x=−b±b2−4ac2a=3−a±a+322a，∴x1=−1，x2=3a．∵此方程有两个负整数根，且a为整数，∴a=−1或−3．∵x1≠x2，∴a≠−3．∴a=−1．21.（1）连接OC．∵OC=OD，∠D=30∘，∴∠OCD=∠D=30∘．∵∠G=30∘，∴∠DCG=180∘−∠D−∠G=120∘．∴∠GCO=∠DCG−∠OCD=90∘．∴OC⊥CG．∵OC是⊙O的半径．∴CG是⊙O的切线．      （2）∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=12CD=3．在Rt△OCE中，∵∠CEO=90∘，∠OCE=30∘，∴OE=12OC，OC2=OE2+CE2．设OE=x，则OC=2x．∴2x2=x2+32．解得x=3，或x=−3（舍）．∴OC=23．∴OF=23．在△OCG中，∵∠OCG=90∘，∠G=30∘，∴OG=2OC=43．∴GF=GO−OF=23．第13页（共13页） 22.（1）53【解析】−4=4，−4−32=72，−4−3+23=53．      （2）12；−3，2，−4或2，−3，−4      （3）11或4【解析】提示：当数列的价值为a时，a>1．当数列的价值为2+a2=1时，a=0（舍）或a=−4（舍）．当数列的价值为−9+a2=1时，a=11或a=7．当数列的价值为2−9+a3=1时，a=4或a=10．当a=7，10时，不合题意，∴a=11或4．23.（1）∵抛物线y=x2−m−1x−mm>0与x轴交于A、B两点，∴令y=0，即x2−m−1x−m=0．解得x1=−1，x2=m．∵点A在点B左侧，且m>0，∴点A的坐标为−1,0．      （2）由（1）可知点B的坐标为m,0．∵抛物线与y轴交于点C，∴点C的坐标为0,−m．∵m>0，∴AB=m+1，OC=m．∵S△ABC=15，∴12m+1m=15．∴m=−6或m=5．∵m>0，∴m=5．∴抛物线的表达式为y=x2−4x−5．      （3）由（2）可知点C的坐标为0,−5．∵直线l：y=kx+bk<0经过点C，∴b=−5∴直线l的解析式为y=kx−5k<0．∵y=x2−4x−5=x−22−9，∴当点D在抛物线顶点处或对称轴左侧时，新函数的最小值为−9，不符合题意．第13页（共13页） 当点D在抛物线对称轴右侧时，新函数的最小值有可能大于−8．令y=−8，即x2−4x−5=−8．解得x1=1（不合题意，舍去），x2=3．∴抛物线经过点3,−8．当直线y=kx−5k<0经过点3,−8时，可求得k=−1．由图象可知，当−1