2016-2017学年北京市海淀区八上期末数学试卷

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2016-2017学年北京市海淀区八上期末数学试卷一、选择题（共10小题；共50分）1.第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日∼2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部份图形，其中不是轴对称图形的是  A.B.C.D.2.下列运算中正确的是  A.x2÷x8=x−4B.a⋅a2=a2C.a32=a6D.3a3=9a33.石墨烯是从石墨材料中剥离出来，由碳原子组成的只有一层原子厚度的二维晶体．石墨烯（Graphene）是人类已知强度最高的物质，据科学家们测算，要施加55牛顿的压力才能使0.000001米长的石墨烯断裂．其中0.000001用科学记数法表示为  A.1×10−6B.10×10−7C.0.1×10−5D.1×1064.在分式xx+2中x的取值范围是  A.x>−2B.x<−2C.x≠0D.x≠−25.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是  A.2a2−2a+1=2aa−1+1B.x+yx−y=x2−y2C.x2−6x+5=x−5x−1D.x2+y2=x−y2+2xy6.如图，已知△ABE≌△ACD，下列选项中不能被证明的等式是  A.AD=AEB.DB=AEC.DF=EFD.DB=EC7.下列各式中，计算正确的是  A.15x2y−5xy2÷5xy=3x−5yB.98×102=100−2100+2=9996第11页（共11页） C.xx+3−1=3x+3D.3x+1x−2=3x2+x−28.如图，∠D=∠C=90∘，E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA=28∘，则∠ABE的度数是  ∘A.62B.31C.28D.259.在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在  A.△ABC的重心处B.AD的中点处C.A点处D.D点处10.定义运算ab=a+1b+1，若a≠−1，b≠−1，则下列等式中不正确的是  A.ab×ba=1B.ba+ca=b+caC.ab2=a2+2ab2+2bD.aa=1二、填空题（共8小题；共40分）11.如图△ABC，在图中作出边AB上的高CD．12.分解因式：x2y−4xy+4y= ．13.点M−2,3关于x轴对称的点的坐标是 ．14.如果等腰三角形的两边长分别为4和8，那么它的周长为 ．15.计算：−4a2b−12÷8ab2= ．16.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于D点．若BD平分∠ABC，则∠A= ∘．第11页（共11页） 17.教材中有如下一段文字：如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC．固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD．这个实验说明了什么?图中的△ABC与△ABD满足两边和其中一边的对角分别相等，即AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，但△ABC与△ABD不全等．这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．小明通过对上述问题的再思考，提出：两边分别相等且这两边中较大边所对的角相等的两个三角形全等．请你判断小明的说法 ．（填“正确”或“不正确”）18.如图1，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若AB=AC+CD，那么∠ACB与∠ABC有怎样的数量关系?小明通过观察分析，形成了如下解题思路：如图2，延长AC到E，使CE=CD，连接DE．由AB=AC+CD，可得AE=AB．又因为AD是∠BAC的平分线，可得△ABD≌△AED，进一步分析就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系．（1）判定△ABD与△AED全等的依据是 ；（2）∠ACB与∠ABC的数量关系为： ．三、解答题（共9小题；共117分）19.分解因式：a−4ba+b+3ab．20.如图，DE∥BC，点A为DC的中点，点B，A，E共线，求证：DE=CB．第11页（共11页） 21.解下列方程：（1）5x+2x2+x=3x+1；（2）xx+2−1=1x−2．22.已知a+b=2，求1a+1b⋅aba−b2+4ab的值．23.如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使得△DEF为等边三角形，求证：AD=BE=CF．24.列方程解应用题：老舍先生曾说“天堂是什么样子，我不晓得，但从我的生活经验去判断，北平之秋便是天堂．”（摘自《住的梦》）金黄色的银杏叶为北京的秋增色不少．小宇家附近新修了一段公路，他想给市政写信，建议在路的两边种上银杏树．他先让爸爸开车驶过这段公路，发现速度为60千米/小时，走了约3分钟，由此估算这段路长约 千米．然后小宇查阅资料，得知银杏为落叶大乔木，成年银杏树树冠直径可达8米．小宇计划从路的起点开始，每a米种一棵树，绘制示意图如下：考虑到投入资金的限制，他设计了另一种方案，将原计划的a扩大一倍，则路的两侧共计减少200棵树，请你求出a的值．25.在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题：（1）非等边的等腰三角形有 条对称轴，非正方形的长方形有 条对称轴，等边三角形有 条对称轴；（2）观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图1−2和图1−3都可以看作由图1−1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图1−4和图1−5中，分别修改图1−2和图1−3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；第11页（共11页） （3）小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形；（4）请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴．26.钝角三角形ABC中，∠BAC>90∘，∠ACB=α，∠ABC=β，过点A的直线l交BC边于点D．点E在直线l上，且BC=BE．（1）若AB=AC，点E在AD延长线上．①当α=30∘，点D恰好为BC中点时，补全图1，直接写出∠BAE= ∘，∠BEA= ∘；②如图2，若∠BAE=2α，求∠BEA的度数（用含α的代数式表示）；（2）如图3，若ABAB，∠ABC=∠DEF，作AG⊥CB于G，DH⊥EF于H．∵AG⊥CB，DH⊥EF，∴∠AGB=∠AGC=∠DHE=∠DHF=90∘，在△AGB和△DHE中，∠B=∠E,∠AGB=∠DHE,AB=DE,∴△AGB≌△DHEAAS．∴BG=EH，AG=DH，在Rt△AGC和Rt△DHF中，AC=DF,AG=DH,∴Rt△AGC≌Rt△DHFHL．∴GC=HF，又∵BG=EH（已证），∴GC+BG=HF+EH，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，AB=DE,AC=DF,BC=EF,∴△ABC≌△DEFSSS．18.SAS，∠ACB=2∠ABC【解析】（1）∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠EAD，∵AB=AC+CD，CE=CD，∴AB=AC+CE=AE，在△ABD和△AED中，AB=AE,∠BAD=∠EAD,AD=AD,∴△ABD≌△AED的条件是SAS．（2）∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED，∵△ABD≌△AED，第11页（共11页） ∴∠ABC=∠CED=∠CDE，又∵∠ACB=∠CDE+∠CED，∴∠ACB=2∠ABC．第三部分19.原式=a2−3ab−4b2+3ab=a2−4b2=a−2ba+2b.20.∵DE∥BC，∴∠D=∠C，∠E=∠B．∵点A为DC的中点，∴DA=CA．在△ADE和△ACB中，∠D=∠C,∠E=∠B,DA=CA,∴△ADE≌△ACB．∴DE=CB．21.（1）5x+2=3x,2x=−2,x=−1.当x=−1时，x+1=0.分母为0无意义，所以，原方程无解．      （2）去分母，得xx−2−x+2x−2=x+2.去括号，得x2−2x−x2+4=x+2.合并同类项，得−3x=−2.系数化为1，得x=23.检验，当x=23时，x+2x−2≠0.所以，原方程的解为x=23.第11页（共11页） 22.1a+1b⋅aba−b2+4ab=a+bab⋅aba2−2ab+b2+4ab=a+bab⋅aba+b2=1a+b.当a+b=2时，原式的值是12．23.在等边三角形ABC中，∠A=∠B=60∘．∴∠AFD+∠ADF=120∘．∵△DEF为等边三角形，∴∠FDE=60∘，DF=ED．∵∠BDE+∠EDF+∠ADF=180∘，∴∠BDE+∠ADF=120∘．∴∠BDE=∠AFD．在△ADF和△BED中，∠A=∠B,∠AFD=∠BDE,DF=ED,∴△ADF≌△BED．∴AD=BE．同理可证：BE=CF．∴AD=BE=CF．24.3两侧共减少200棵树，故一侧减少100棵，由题意可得：3000a−30002a=100,解方程得：a=15,经检验：a=15满足题意，且符合题意．答：a的值是15．25.（1）1；2；3      （2）恰好有1条对称轴的凸五边形如图中所示．      （3）恰好有2条对称轴的凸六边形如图所示．第11页（共11页）       （4）恰好有3条对称轴的凸六边形如图所示．26.（1）①补全图1，如图2所示．60；30．②如图3所示，延长DA到F，使得AF=AC，连接BF．∵AB=AC，∴α=β．∴∠BAC=180∘−2α．∵∠BAE=2α，∴∠BAF=180∘−2α，∴∠BAF=∠BAC，在△BAF和△BAC中，AF=AC,∠BAF=∠BAC,BA=BA,第11页（共11页） ∴△BAF≌△BAC，∴∠F=∠C，BF=BC．∵BE=BC，∴BF=BE，∴∠BEA=∠F=∠C=α．      （2）∠BAE=α+β或∠BAE+α+β=180∘．27.（1）1，2，3或6      （2）不可以．理由如下：根据轴对称图形的定义，若一个凸多边形是轴对称图形，则对称轴与多边形的交点是多边形的顶点或一条边的中点．若多边形的边数是奇数，则对称轴必经过一个顶点和一条边的中点．如图，设凸五边形ABCDE是轴对称图形，恰好有两条对称轴l1，l2，其中l1经过A和CD的中点．若l2⊥l1，则l2与五边形ABCDE的两个交点关于l1对称，与对称轴必经过一个顶点和一条边的中点矛盾；若l2不垂直于l1，则l2关于l1的对称直线也是五边形ABCDE的对称轴，与恰好有两条对称轴矛盾．所以，凸五边形不可以恰好有两条对称轴．      （3）对称轴的条数是多边形边数的约数第11页（共11页）