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2016-2017学年北京市海淀区八上期末数学试卷一、选择题(共10小题;共50分)1.第24届冬季奥林匹克运动会,将于2022年02月04日∼2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行.在会徽的图案设计中,设计者常常利用对称性进行设计,下列四个图案是历届会徽图案上的一部份图形,其中不是轴对称图形的是 A.B.C.D.2.下列运算中正确的是 A.x2÷x8=x−4B.a⋅a2=a2C.a32=a6D.3a3=9a33.石墨烯是从石墨材料中剥离出来,由碳原子组成的只有一层原子厚度的二维晶体.石墨烯(Graphene)是人类已知强度最高的物质,据科学家们测算,要施加55牛顿的压力才能使0.000001米长的石墨烯断裂.其中0.000001用科学记数法表示为 A.1×10−6B.10×10−7C.0.1×10−5D.1×1064.在分式xx+2中x的取值范围是 A.x>−2B.x<−2C.x≠0D.x≠−25.下列各式中,从左到右的变形是因式分解的是 A.2a2−2a+1=2aa−1+1B.x+yx−y=x2−y2C.x2−6x+5=x−5x−1D.x2+y2=x−y2+2xy6.如图,已知△ABE≌△ACD,下列选项中不能被证明的等式是 A.AD=AEB.DB=AEC.DF=EFD.DB=EC7.下列各式中,计算正确的是 A.15x2y−5xy2÷5xy=3x−5yB.98×102=100−2100+2=9996第11页(共11页) C.xx+3−1=3x+3D.3x+1x−2=3x2+x−28.如图,∠D=∠C=90∘,E是DC的中点,AE平分∠DAB,∠DEA=28∘,则∠ABE的度数是 ∘A.62B.31C.28D.259.在等边三角形ABC中,D,E分别是BC,AC的中点,点P是线段AD上的一个动点,当△PCE的周长最小时,P点的位置在 A.△ABC的重心处B.AD的中点处C.A点处D.D点处10.定义运算ab=a+1b+1,若a≠−1,b≠−1,则下列等式中不正确的是 A.ab×ba=1B.ba+ca=b+caC.ab2=a2+2ab2+2bD.aa=1二、填空题(共8小题;共40分)11.如图△ABC,在图中作出边AB上的高CD.12.分解因式:x2y−4xy+4y= .13.点M−2,3关于x轴对称的点的坐标是 .14.如果等腰三角形的两边长分别为4和8,那么它的周长为 .15.计算:−4a2b−12÷8ab2= .16.如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于D点.若BD平分∠ABC,则∠A= ∘.第11页(共11页) 17.教材中有如下一段文字:如图,把一长一短的两根木棍的一端固定在一起,摆出△ABC.固定住长木棍,转动短木棍,得到△ABD.这个实验说明了什么?图中的△ABC与△ABD满足两边和其中一边的对角分别相等,即AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但△ABC与△ABD不全等.这说明,有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.小明通过对上述问题的再思考,提出:两边分别相等且这两边中较大边所对的角相等的两个三角形全等.请你判断小明的说法 .(填“正确”或“不正确”)18.如图1,△ABC中,AD是∠BAC的平分线,若AB=AC+CD,那么∠ACB与∠ABC有怎样的数量关系?小明通过观察分析,形成了如下解题思路:如图2,延长AC到E,使CE=CD,连接DE.由AB=AC+CD,可得AE=AB.又因为AD是∠BAC的平分线,可得△ABD≌△AED,进一步分析就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系.(1)判定△ABD与△AED全等的依据是 ;(2)∠ACB与∠ABC的数量关系为: .三、解答题(共9小题;共117分)19.分解因式:a−4ba+b+3ab.20.如图,DE∥BC,点A为DC的中点,点B,A,E共线,求证:DE=CB.第11页(共11页) 21.解下列方程:(1)5x+2x2+x=3x+1;(2)xx+2−1=1x−2.22.已知a+b=2,求1a+1b⋅aba−b2+4ab的值.23.如图,在等边三角形ABC的三边上,分别取点D,E,F,使得△DEF为等边三角形,求证:AD=BE=CF.24.列方程解应用题:老舍先生曾说“天堂是什么样子,我不晓得,但从我的生活经验去判断,北平之秋便是天堂.”(摘自《住的梦》)金黄色的银杏叶为北京的秋增色不少.小宇家附近新修了一段公路,他想给市政写信,建议在路的两边种上银杏树.他先让爸爸开车驶过这段公路,发现速度为60千米/小时,走了约3分钟,由此估算这段路长约 千米.然后小宇查阅资料,得知银杏为落叶大乔木,成年银杏树树冠直径可达8米.小宇计划从路的起点开始,每a米种一棵树,绘制示意图如下:考虑到投入资金的限制,他设计了另一种方案,将原计划的a扩大一倍,则路的两侧共计减少200棵树,请你求出a的值.25.在我们认识的多边形中,有很多轴对称图形.有些多边形,边数不同对称轴的条数也不同;有些多边形,边数相同但却有不同数目的对称轴.回答下列问题:(1)非等边的等腰三角形有 条对称轴,非正方形的长方形有 条对称轴,等边三角形有 条对称轴;(2)观察下列一组凸多边形(实线画出),它们的共同点是只有1条对称轴,其中图1−2和图1−3都可以看作由图1−1修改得到的,仿照类似的修改方式,请你在图1−4和图1−5中,分别修改图1−2和图1−3,得到一个只有1条对称轴的凸五边形,并用实线画出所得的凸五边形;第11页(共11页) (3)小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形,于是他选择修改长方形,图2中是他没有完成的图形,请用实线帮他补完整个图形;(4)请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形,并用虚线标出对称轴.26.钝角三角形ABC中,∠BAC>90∘,∠ACB=α,∠ABC=β,过点A的直线l交BC边于点D.点E在直线l上,且BC=BE.(1)若AB=AC,点E在AD延长线上.①当α=30∘,点D恰好为BC中点时,补全图1,直接写出∠BAE= ∘,∠BEA= ∘;②如图2,若∠BAE=2α,求∠BEA的度数(用含α的代数式表示);(2)如图3,若ABAB,∠ABC=∠DEF,作AG⊥CB于G,DH⊥EF于H.∵AG⊥CB,DH⊥EF,∴∠AGB=∠AGC=∠DHE=∠DHF=90∘,在△AGB和△DHE中,∠B=∠E,∠AGB=∠DHE,AB=DE,∴△AGB≌△DHEAAS.∴BG=EH,AG=DH,在Rt△AGC和Rt△DHF中,AC=DF,AG=DH,∴Rt△AGC≌Rt△DHFHL.∴GC=HF,又∵BG=EH(已证),∴GC+BG=HF+EH,即BC=EF,在△ABC和△DEF中,AB=DE,AC=DF,BC=EF,∴△ABC≌△DEFSSS.18.SAS,∠ACB=2∠ABC【解析】(1)∵AD是∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠EAD,∵AB=AC+CD,CE=CD,∴AB=AC+CE=AE,在△ABD和△AED中,AB=AE,∠BAD=∠EAD,AD=AD,∴△ABD≌△AED的条件是SAS.(2)∵CE=CD,∴∠CDE=∠CED,∵△ABD≌△AED,第11页(共11页) ∴∠ABC=∠CED=∠CDE,又∵∠ACB=∠CDE+∠CED,∴∠ACB=2∠ABC.第三部分19.原式=a2−3ab−4b2+3ab=a2−4b2=a−2ba+2b.20.∵DE∥BC,∴∠D=∠C,∠E=∠B.∵点A为DC的中点,∴DA=CA.在△ADE和△ACB中,∠D=∠C,∠E=∠B,DA=CA,∴△ADE≌△ACB.∴DE=CB.21.(1)5x+2=3x,2x=−2,x=−1.当x=−1时,x+1=0.分母为0无意义,所以,原方程无解. (2)去分母,得xx−2−x+2x−2=x+2.去括号,得x2−2x−x2+4=x+2.合并同类项,得−3x=−2.系数化为1,得x=23.检验,当x=23时,x+2x−2≠0.所以,原方程的解为x=23.第11页(共11页) 22.1a+1b⋅aba−b2+4ab=a+bab⋅aba2−2ab+b2+4ab=a+bab⋅aba+b2=1a+b.当a+b=2时,原式的值是12.23.在等边三角形ABC中,∠A=∠B=60∘.∴∠AFD+∠ADF=120∘.∵△DEF为等边三角形,∴∠FDE=60∘,DF=ED.∵∠BDE+∠EDF+∠ADF=180∘,∴∠BDE+∠ADF=120∘.∴∠BDE=∠AFD.在△ADF和△BED中,∠A=∠B,∠AFD=∠BDE,DF=ED,∴△ADF≌△BED.∴AD=BE.同理可证:BE=CF.∴AD=BE=CF.24.3两侧共减少200棵树,故一侧减少100棵,由题意可得:3000a−30002a=100,解方程得:a=15,经检验:a=15满足题意,且符合题意.答:a的值是15.25.(1)1;2;3 (2)恰好有1条对称轴的凸五边形如图中所示. (3)恰好有2条对称轴的凸六边形如图所示.第11页(共11页) (4)恰好有3条对称轴的凸六边形如图所示.26.(1)①补全图1,如图2所示.60;30.②如图3所示,延长DA到F,使得AF=AC,连接BF.∵AB=AC,∴α=β.∴∠BAC=180∘−2α.∵∠BAE=2α,∴∠BAF=180∘−2α,∴∠BAF=∠BAC,在△BAF和△BAC中,AF=AC,∠BAF=∠BAC,BA=BA,第11页(共11页) ∴△BAF≌△BAC,∴∠F=∠C,BF=BC.∵BE=BC,∴BF=BE,∴∠BEA=∠F=∠C=α. (2)∠BAE=α+β或∠BAE+α+β=180∘.27.(1)1,2,3或6 (2)不可以.理由如下:根据轴对称图形的定义,若一个凸多边形是轴对称图形,则对称轴与多边形的交点是多边形的顶点或一条边的中点.若多边形的边数是奇数,则对称轴必经过一个顶点和一条边的中点.如图,设凸五边形ABCDE是轴对称图形,恰好有两条对称轴l1,l2,其中l1经过A和CD的中点.若l2⊥l1,则l2与五边形ABCDE的两个交点关于l1对称,与对称轴必经过一个顶点和一条边的中点矛盾;若l2不垂直于l1,则l2关于l1的对称直线也是五边形ABCDE的对称轴,与恰好有两条对称轴矛盾.所以,凸五边形不可以恰好有两条对称轴. (3)对称轴的条数是多边形边数的约数第11页(共11页)
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