平面向量数量积及其应用（1）夹角与垂直问题高中数学（理）黄金100题---精校解析 Word版

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1、40题平面向量数量积及其应用（1）---夹角与垂直问题I．题源探究·黄金母题【例1】设，求．【解析】由；计算得：所以II．考场精彩·真题回放【例2】【2016高考新课标3理数】已知向量，，则（）(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】由题意，得，所以，故选A．【思维拓展】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；（2）由向量的数量积的性质有，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．【例3】【2016高考新课标2理数】已知向量，且，则（）（A）－8（B）－6（C）6（D

2、）8【答案】D【解析】：向量，由得，解得，【点睛】已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)：结论几何表示坐标表示模

3、a

4、＝

5、a

6、＝夹角cosθ＝cosθ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0【例4】【2017山东理12】已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是.【答案】【解析】试题分析：，，，·，解得：．【名师点睛】1.平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：.2.由向量的数量积的性质有，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．3.本题主要利

7、用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立的方程.【例5】【2017北京，理6】设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】：若，使，即两向量反向，夹角是，那么T，若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分不必要条件，故选A.【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：1.根据定义，若，那么是的充分不必要，同时是的必要不充分条件，若，那互为充要条件，若，那就是既不充分也不必要条件，2.

8、当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，若,若，那么是的充分必要条件，同时是的必要不充分条件，若，互为充要条件，若没有包含关系，就是既不充分也不必要条件，3.命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将是条件的判断，转化为是条件的判断.【例6】【2014四川理7】平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则（）A．B．C．D．【答案】D.精彩解读【试题来源】人教版A版必修四第107页例6．【母题评析】本题向量以坐标形式给出，求解思路，完全依据向量数量积的定义进行思考。对定义的理解运用和运算能力是成功解题的关键。【思路方法】向量以

9、坐标形式给出，达到了向量运算数量化的目的。而对向量数量积定义的准确理解和运用是解题的关键所在。【命题意图】本类题主要考查（1）向量数量积的定义及坐标形式下的运算。（2）数量积的性质运用如：夹角、投影、垂直等。【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中偏下．【难点中心】（1）对定义的准确理解和运用是一个难点；（2）由向量数量积定义出发，综合多种条件，求夹角，判断垂直等综合问题。III．理论基础·解题原理知识点一　两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则_∠AOB　＝θ(0°

10、≤θ≤180°)，叫做向量a与b的夹角．①范围：向量a与b的夹角的范围是[0°，180°]．②当θ＝0°时，a与b_同向.③当θ＝180°时，a与b_反向.(2)垂直：如果a与b的夹角是_90°，则称a与b垂直，记作a⊥b__．知识点二　平面向量的数量积（一）设θ为a与b的夹角．(1)定义：a·b＝

11、a

12、

13、b

14、cosθ.(2)投影：＝

15、a

16、cosθ叫做向量a在b方向上的投影．（二）数量积的性质(1)a⊥b⇔a·b＝0；(2)当a与b同向时，a·b＝

17、a

18、·

19、b

20、；当a与b反向时，a·b＝－

21、a

22、·

23、b

24、；特别地，a·a＝

25、a

26、2；(3

27、)

28、a·b

29、≤

30、a

31、·

32、b

33、；(4)cosθ＝.（三）数量积的坐标表示、模、夹角已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(1)a·b＝x1x2＋y1y2；(2)

34、a

35、＝；(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0；(4)cosθ＝.【误区警示】1．两向量夹角的范围是[0，π]，a·b>0与〈a，b〉为锐角不等价；a·b<0与〈a，b〉为钝角不等价．2．点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别．3．a在b方向上的投影为，而不是.【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏下，有时也会与

36、三角函数、解三角形等知识交汇．【技能方法】准确理解数量积的定义，对向量数量积性质的灵活运用。V．举一反三·触类旁通考向1　计算向量的数量积及几何意义【例1】【2018•北京模拟】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB