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《平面向量基本定理的应用问题-高中数学（理）黄金100题---精校解析 Word版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、39题平面向量基本定理的应用问题I．题源探究·黄金母题【例1】如图，已知四边形是等腰梯形，分别是的中点，是线段上的两个点，且，下底是上底的2倍，若，，求．【解析】，∴．又，∴，所以II．考场精彩·真题回放【例2】【2017课标3理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=+，则+的最大值为A．3B．2C．D．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系设,根据等面积公式可得圆的半径，即圆C的方程是，，若满足，即，，所以，设，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.【名师点睛】(1)应用平
2、面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.【例3】【2015全国新课标Ⅰ卷】设为所在平面内一点，则（ ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题知＝＝，故选A．【例4】【2015北京高考卷】在中，点，满足，．若，则______；_______．【答案】【解析】由题意知无论的位置关系如何，对结果都没有任何变化，即结论唯一，不妨设，，因此以以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系，，，则，，，所以．【例5】【2014
3、全国新课标Ⅰ卷】设分别为的三边的中点，则（ ）A． B.． C． D．【答案】A【解析】根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得：在中，，同理，则＝＝＝．【例6】【2013高考广东卷】设是已知的平面向量且,关于向量的分解,有如下四个命题：①给定向量,总存在向量,使；②给定向量和,总存在实数和,使；③给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使；④给定正数和,总存在单位向量和单位向量,使．上述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】利用向量加法的三角形法则，易知①是对的；利用平面向量的基本定
4、理，易知②是对的；以的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须，所以④是假命题.综上，选B．【例7】【2013江苏高考卷】设分别是的边上的点,,,若(为实数),则的值为__________．【答案】【解析】易知＝,所以．精彩解读【试题来源】人教版A版必修四第120页复习参考题A组第13题．【母题评析】本题中实际上为基底，然后将其它的向量利用此基底表示出来，主要考查向量加减法的几何意义、平面向量基本定理，所以此类题型在高考中出现的频率还是比较高的，要么单独考查，要么渗透于其它向量问题中．【思路方
5、法】（1）将一个向量表示为另两个不共线的向量的线性关系，主要是利用平行四边形法则或三角形法则，结合数乘向量、平面向量的基本定理来解决．（2）注意题目中中点与平行的应用．【命题意图】本类题主要考查平面向量的加法运算及三角形法则、数乘向量，以及图形的识别能力、运算求解能力．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中偏下．【难点中心】（1）如何利用三角形法则，面临的就是如何选择三角形，这是一个难点；（2）如何利用条件中的关键条件，如线段的中点、三点共线、平行关系，即如何利用这些条件实施向量线性运算间的转换，从而达到将一个向量利用基底向量表示的目的．III．
6、理论基础·解题原理考点一 平面向量的基本定理平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内任一向量有且只有一对实数，使，其中是一组基底．解读：（1）将向量表示为另外向量的线性关系，关键是选取有利的基底,利用平面向量加减法的几何意义（三角形法则、平行四边形法则）以及向量共线定理来解决；（2）根据线性关系求解相关的参数及其它问题，解答时通常是利用平面向量的基本定理结合待定系数法建立方程（组）来解决．(3)三点共线模型要牢记:若A、B、C三点共线，O是平面内任意一点，则【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏下，有时也会与三角函
7、数、解三角形等知识交汇．【技能方法】（1）将向量表示为另外向量的线性关系，主要是利用平面向量加减法的几何意义（三角形法则、平行四边形法则）结合平面向量的基本定理来解决；（2）根据线性关系求解相关的参数及其它问题，解答时通常是利用平面向量的基本定理结合待定系数法建立方程（组）来解决．【易错指导】利用平面向量的基本定理解决相关问题，基底的选择直接决定解题过程的繁杂与简化、决定解题的成功与失败，因此必须重视基底的选择．V．举一反三·触类旁通考向1 利用平面向量基
