2021版高中数学必做黄金100题39平面向量基本定理的应用问题（解析版）.docx

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1、第39题平面向量基本定理的应用问题一．题源探究·黄金母题如图，已知四边形是等腰梯形，分别是的中点，是线段上的两个点，且，下底是上底的2倍，若，，求．【解析】，∴．又，∴，所以【试题来源】人教版A版必修四第120页复习参考题A组第13题．【母题评析】本题中实际上为基底，然后将其它的向量利用此基底表示出来，主要考查向量加减法的几何意义、平面向量基本定理，所以此类题型在高考中出现的频率还是比较高的，要么单独考查，要么渗透于其它向量问题中．【思路方法】（1）将一个向量表示为另两个不共线的向量的线性关系，主要是利用平行四边形法

2、则或三角形法则，结合数乘向量、平面向量的基本定理来解决．（2）注意题目中中点与平行的应用．二．考场精彩·真题回放18/18【2019年高考江苏卷】如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.【答案】.【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC的中点，知BF=FE=EA,AO=OD．，，得即故【命题意图】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算及平面向量基本定理。【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度较小

3、，往往与平面向量的运算及平面向量基本定理联系。【学科素养】数学运算、直观想象【难点中心】（1）如何利用三角形法则，面临的就是如何选择三角形，这是一个难点；（2）如何利用条件中的关键条件，如线段的中点、三点共线、平行关系，即如何利用这些条件实施向量线性运算间的转换，从而达到将一个向量利用基底向量表示的目的．18/18三．理论基础·解题原理考点一平面向量的基本定理平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内任一向量有且只有一对实数，使，其中是一组基底．解读：（1）将向量表示为另外向量的线性关系，关

4、键是选取有利的基底,利用平面向量加减法的几何意义（三角形法则、平行四边形法则）以及向量共线定理来解决；（2）根据线性关系求解相关的参数及其它问题，解答时通常是利用平面向量的基本定理结合待定系数法建立方程（组）来解决．(3)三点共线模型要牢记:若A、B、C三点共线，O是平面内任意一点，则四．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏下，有时也会与三角函数、解三角形等知识交汇．考向1利用平面向量基本定理表示向量如图，在中，点为的中点，点在上，，点在上，，那么等于（）

5、【温馨提醒】18/18A.B.C.D.【答案】D【解析】本题选择D选项.用已知向量表示未知向量，注意向量运算的三角形法则、平行四边形。考向2利用平面向量待定系数求参数值如图，在正方形中，分别是的中点，若，则的值为（）A.B.C.1D.-1【答案】A【解析】设正方形的边长为2，以点为原点，分别为轴，建立平面直角坐标系，【温馨提醒】此类题一种方法可以建立坐标系，利用向量的坐标运算求系数；另一种方法，选取基底，用基底表示向量，进而求系数。18/18，所以，，所以，解得，所以，故选A.考向3平面向量基本定理与不等式,、三角函

6、数相结合给定两个长度为的平面向量，它们的夹角为.如图1所示，点在以为圆心的圆弧上变动.若其中，则的最大值是思考方向一考虑特值法解法1当与重合时，，当与重合时，，当从的端点向圆弧内部运动时，，于是猜想当是的中点时，取到最大值.当是的中点时，由平面几何知识是菱形，∴∴猜想的最大值是.思考方向二考虑坐标法建立如图3，所示的平面直角坐标系，设，则.【温馨提醒】在解决向量问题时一般有三种转化策略，一是利用向量的坐标运算，二是利用向量的代数运算特别是数量积的运算，三是利用向量的几何意义转化为平面几何问题求解.在解答最值问题时，本

7、题作为一个填空题或者选择题，能够利用特值和猜想的办法是很好的.18/18于是可化为：，∴（1）解法2函数法求最值由方程组（1）得：∴，又，∴当时，解法3不等式法求最值由方程组（1）得：，∴，由，及得：，∴，∴，当且仅当时取等号.∴思考方向三考虑向量的数量积的运算解法4两边点乘同一个向量∵18/18∴设，则，又，∴∴，∴当时，解法5两边平方法∵∴∴，∴，当且仅当时取等号，∴思考方向四考虑平行四边形法则过作∥交于，作∥交于，则是平行四边形，由向量加法的平行四边形法则得：，在中，设，则，且解法6利用正弦定理18/18，，由

8、等比性值得：，∴，∴当时，解法7利用余弦定理∴，∴，当且仅当时取等号，∴考向4共线定理的应用在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为（　　　）A．　　　　B．　　　　C．1　　　　D．4【答案】A【解析】因为，又因为，所以，由于三点共线，所以，从而的值为，故选A．【技能方法】解决此类问题要共线定理的熟练运用。考向5平面向量基本定