2021版高中数学必做黄金100题39平面向量基本定理的应用问题（原卷版）.docx

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1、第39题平面向量基本定理的应用问题一．题源探究·黄金母题如图，已知四边形是等腰梯形，分别是的中点，是线段上的两个点，且，下底是上底的2倍，若，，求．【试题来源】人教版A版必修四第120页复习参考题A组第13题．【母题评析】本题中实际上为基底，然后将其它的向量利用此基底表示出来，主要考查向量加减法的几何意义、平面向量基本定理，所以此类题型在高考中出现的频率还是比较高的，要么单独考查，要么渗透于其它向量问题中．【思路方法】（1）将一个向量表示为另两个不共线的向量的线性关系，主要是利用平行四边形法则或三角形法则，结合数乘向量、平面向量的基本定理来解决．（2）注意题目中中点与平行

2、的应用．二．考场精彩·真题回放7/7【2019年高考江苏卷】如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.【命题意图】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算及平面向量基本定理。【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与平面向量的运算及平面向量基本定理联系。【学科素养】数学运算、直观想象【难点中心】（1）如何利用三角形法则，面临的就是如何选择三角形，这是一个难点；（2）如何利用条件中的关键条件，如线段的中点、三点共线、平行关系，即如何利用这些条件实施向量线性运算间的转换，从而达到将一

3、个向量利用基底向量表示的目的．三．理论基础·解题原理考点一平面向量的基本定理平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内任一向量7/7有且只有一对实数，使，其中是一组基底．解读：（1）将向量表示为另外向量的线性关系，关键是选取有利的基底,利用平面向量加减法的几何意义（三角形法则、平行四边形法则）以及向量共线定理来解决；（2）根据线性关系求解相关的参数及其它问题，解答时通常是利用平面向量的基本定理结合待定系数法建立方程（组）来解决．(3)三点共线模型要牢记:若A、B、C三点共线，O是平面内任意一点，则四．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题

4、型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏下，有时也会与三角函数、解三角形等知识交汇．考向1利用平面向量基本定理表示向量如图，在中，点为的中点，点在上，，点在上，，那么等于（）A.B.C.D.【温馨提醒】用已知向量表示未知向量，注意向量运算的三角形法则、平行四边形。考向2利用平面向量待定系数求参数值如图，在正方形中，分别是的中点，【温馨提醒】7/7若，则的值为（）A.B.C.1D.-1此类题一种方法可以建立坐标系，利用向量的坐标运算求系数；另一种方法，选取基底，用基底表示向量，进而求系数。考向3平面向量基本定理与不等式,、三角函数相结合给定两个长度为的平面向量，

5、它们的夹角为.如图1所示，点在以为圆心的圆弧上变动.若其中，则的最大值是【温馨提醒】在解决向量问题时一般有三种转化策略，一是利用向量的坐标运算，二是利用向量的代数运算特别是数量积的运算，三是利用向量的几何意义转化为平面几何问题求解.在解答最值问题时，本题作为一个填空题或者选择题，能够利用特值和猜想的办法是很好的.考向4共线定理的应用在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为（　　　）A．　　　　B．　　　　C．1　　　　D．4【技能方法】解决此类问题要共线定理的熟练运用。7/7考向5平面向量基本定理在解析几何中的应用在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆相

6、交于两点，．若点在圆上，则实数（）A．B．C．D．【技能方法】利用平面向量基本定理可以把平面内的任意向量用两个已知不共线向量表示，这样通过基底向量把平面内的任意向量联系起来，利用平面向量基本定理解决相关问题时，除了注意“形”，还要从方程的角度处理问题，即利用向量坐标之间的等量关系，列方程或表示为某变量的函数解析式．五．限时训练*提升素养1.（2020·横峰中学）若、是平面内的一组基底，则下四组向量能作为平面向量的基底的是（）．A．与B．与C．与D．与2.（2020·海南期中）已知四边形中，，分别为，的中点，，，若，则（）7/7A．B．C．D．13.（2020·江西）如图，

7、在▱OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且BC=3BF，若=m，其中m，n∈R，则m+n的值为（　　）A．1B．C．D．4.（2020·江苏南京·期中）已知点是的重心，，若，，则的最小值是（）A．B．C．D．5.（2020·安徽月考（理））已知为边长为2的等边三角形，动点P在以BC为直径的半圆上，若，则的最小值为________.6.（2020·上海市）在中，，，，若点为三角形外心，则满足关系式：的有序实数对________.7/77.（2020·上海市）在平面凸四边形ABCD中，，点M，N分别是边AD，BC的中点，