2021版高中数学必做黄金100题40 平面向量数量积及其应用（1）夹角与垂直问题（原卷版）.docx

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1、第40题平面向量数量积及其应用（1）——夹角与垂直问题一．题源探究·黄金母题设，求．【试题来源】人教版A版必修四第107页例6．【母题评析】本题向量以坐标形式给出，求解思路，完全依据向量数量积的定义进行思考。对定义的理解运用和运算能力是成功解题的关键。【思路方法】向量以坐标形式给出，达到了向量运算数量化的目的。而对向量数量积定义的准确理解和运用是解题的关键所在。二．考场精彩·真题回放【2020年高考全国III卷理数】6.已知向量a，b满足，，，则A．B．C．D．6/6【命题意图】本类题通常主要考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查

2、计算能力，属于中等题.【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与平面向量的夹角、模等有关．【学科素养】数学运算【难点中心】（1）对定义的准确理解和运用是一个难点；（2）由向量数量积定义出发，综合多种条件，求夹角，判断垂直等综合问题。三．理论基础·解题原理考点一两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则_∠AOB　＝θ(0°≤θ≤180°)，叫做向量a与b的夹角．①范围：向量a与b的夹角的范围是[0°，180°]．②当θ＝0°时，a与b_同向.③当θ＝180°时，a与b_反向.(2)垂直：如果a与b的夹角是_9

3、0°，则称a与b垂直，记作a⊥b__．考点二平面向量的数量积（一）设θ为a与b的夹角．6/6(1)定义：a·b＝

4、a

5、

6、b

7、cosθ.(2)投影：＝

8、a

9、cosθ叫做向量a在b方向上的投影．（二）数量积的性质(1)a⊥b⇔a·b＝0；(2)当a与b同向时，a·b＝

10、a

11、·

12、b

13、；当a与b反向时，a·b＝－

14、a

15、·

16、b

17、；特别地，a·a＝

18、a

19、2；(3)

20、a·b

21、≤

22、a

23、·

24、b

25、；(4)cosθ＝.（三）数量积的坐标表示、模、夹角已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(1)a·b＝x1x2＋y1y2；(2)

26、a

27、＝；(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0；(4)cos

28、θ＝.四．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏下，有时也会与三角函数、解三角形等知识交汇．考向1计算向量的数量积及几何意义如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，D在斜边BC上，且CD=2DB，那的值为（　　）【温馨提醒】本题考查了加减的几何意义和向量的数量积，6/6A．3B．5C．6D．9考向2求向量的夹角【2014江西高考文第15题】已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，则=.【温馨提醒】解决与平面向量的夹角有关的问题，要熟记平面向量的夹角公式。考向3向量垂直的计算和证明已知向量，且，则实数=（）

29、D.【温馨提醒】本题考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量垂直的条件，属于基础题，利用向量垂直的条件的坐标条件可将两向量垂直的条件转化为所求实数k的方程，解之即得结果.五．限时训练*提升素养1.（2020·江苏泰州·月考）已知向量，，，若，则与6/6的夹角为（）A．B．C．D．2.（2020·重庆月考）已知平面向量，满足，记与夹角为，则的最小值是（）A．B．C．D．3.（2020·陕西西安）已知平面非零向量满足：，在方向上的投影为，则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．4.（2020·河南）如图，点在的内部，，是边，的中点(，，三点不共线)，，，则向量与的夹角大小为（）A．

30、105°B．120°C．135°D．150°5.（2020·陕西）已知向量，满足，，，则下列说法错误的是（）6/6A．B．C．D．6.（2020·四川）已知非零向量与的夹角为，，若，则______.7.（2020·湖北）已知向量，，且，若，均为正数，则的最小值是__________.8.已知非零向量，满足=，，.若⊥，则实数的值为_____________.9.若向量满足，，且，则的最小值是____________.10.已知向量，，且，，则（）的最小值为．6/6