2021版高中数学必做黄金100题41 平面向量数量积及其应用（2）模长问题（解析版）.docx

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1、第41题平面向量数量积及其应用（2）——模长问题一．题源探究·黄金母题已知，求．【解析】由【试题来源】人教版A版必修四第108页习题2.4A组第3题．【母题评析】本题为求向量模长的基本问题，求解思路，可依据完全依据进行，需要对定义的理解及运算能力是成功解题的关键。【思路方法】按平面向量的模的定义。二．考场精彩·真题回放【2020年全国Ⅰ卷理】设为单位向量，且，则______________【答案】【解析】因为为单位向量，所以所以，解得：，所以，故答案为：.【命题意图】本类题主要考查（1）向量模长的计算及向量的数量积运算

2、。（2）数量积的性质运用如：模长、投影、垂直等。【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中偏下．【学科素养】数学运算【难点中心】（1）对定义的准确理解和运用是一个难点；（2）由向量数量积定义出发，综合多种条件，求模长，判断垂直等综合问题。11/11三．理论基础·解题原理考点一两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则_∠AOB　＝θ(0°≤θ≤180°)，叫做向量a与b的夹角．①范围：向量a与b的夹角的范围是[0°，180°]．②当θ＝0°时，a与b_同向.

3、③当θ＝180°时，a与b_反向.(2)垂直：如果a与b的夹角是_90°，则称a与b垂直，记作a⊥b__．考点二平面向量的数量积（一）设θ为a与b的夹角．(1)定义：a·b＝

4、a

5、

6、b

7、cosθ.(2)投影：＝

8、a

9、cosθ叫做向量a在b方向上的投影．（二）数量积的性质(1)a⊥b⇔a·b＝0；(2)当a与b同向时，a·b＝

10、a

11、·

12、b

13、；当a与b反向时，a·b＝－

14、a

15、·

16、b

17、；特别地，a·a＝

18、a

19、2；(3)

20、a·b

21、≤

22、a

23、·

24、b

25、；(4)cosθ＝.（三）数量积的坐标表示、模、夹角已知非零向量a＝(x1，y1)

26、，b＝(x2，y2)11/11(1)a·b＝x1x2＋y1y2；(2)

27、a

28、＝；(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0；(4)cosθ＝.四．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏下，有时也会与三角函数、解三角形等知识交汇．考向1与向量的模长有关的计算问题平面向量与的夹角为，，，则__________．【答案】【解析】根据题意，，则

29、

30、=5，又由向量与的夹角为，且，则有=5×1×cos60°=，则（）2=﹣4+4=19，则=。【温馨提醒】应先求平面向量的模要熟记

31、模得定义。有两种方法：（1）坐标运算；（2）。考向2向量的模与最值问题在平面内，定点A，B，C，D满足==,===-2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是()（A）（B）（C）（D）【温馨提醒】11/11【答案】B【解析】甴已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则设由已知，得，又，它表示圆上点与点距离平方的，，故选B．本题考查平面向量的数量积与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出，且，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写

32、出坐标，同时动点的轨迹是圆，，因此可用圆的性质得出最值．考向3与向量模长有关的综合问题在△中，若，则△的形状为（）A.锐角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.钝角三角形【答案】D【温馨提醒】11/11【解析】由题意可得：,即：,整理可得：，则向量与的夹角为钝角，即，据此可知：则△的形状为钝角三角形.本题选择D选项.处理两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．五．限时训练*提升素养1.（2020·天水市第一中学开

33、学考试）已知向量与的夹角为，，，则（）A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】解：向量与的夹角为，，，∴故选：．2.（2020·湖南月考）已知为单位向量，且，则（）A．1B．C．2D．【答案】B【解析】因为为单位向量，且，所以，11/11所以，所以.故选：B.3.（2020·北京）设向量满足，，则的最小值为（）A．B．C．1D．【答案】B【解析】解：∴当时，取得最小值.故选：B.4.（2020·江苏）已知点为的重心，，，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图所示，设的中点为，11/11由三角形重心性质

34、可得，又为中点，，，则.又，，由向量的数量积定义可得，，.，当且仅当时等号成立，即的最小值.故选：C.5.（2020·黑龙江）已知平面向量，，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据得，，整理得：，因为，，所以，则，解得.故选：B.11/116.已知向量，其中，均为非零向量，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解