平面向量数量积及其应用2模长问题高中数学（理）黄金100题---精校解析 Word版

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1、41题平面向量数量积及其应用（2）---模长问题I．题源探究·黄金母题【例1】已知，求．【解析】由II．考场精彩·真题回放【例2】【2017课标1理13】已知向量a，b的夹角为60°，

2、a

3、=2，

4、b

5、=1，则

6、a+2b

7、=.【答案】【解析】所以.秒杀解析：利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，则为.【名师点睛】平面向量中涉及到有关模长的问题，用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题

8、速度.【例3】【2016高考新课标1卷】设向量a=(m,1),b=(1,2),且

9、a+b

10、2=

11、a

12、2+

13、b

14、2,则m=.【答案】【解析】：由,得,所以,解得.【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若,则.量的坐标，利用向量相等，列方程组，解出未知数的值.【例4】【2017浙江15】已知向量a，b满足则的最小值是________，最大值是_______．【答案】4，【解析】设向量的夹角为，由余弦定理有：，则：，令，则，据此可得：，；即的最小值是

15、4，最大值是．【名师点睛】本题通过设入向量的夹角，结合模长公式，解得，再利用三角有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求．【例5】【2014新课标理3】设向量a,b满足

16、a+b

17、=，

18、a-b

19、=，则ab=()A.1B.2C.3D.5【答案】A【解析】因为=10，，两式相加得：，所以，故选A.【例6】【2015湖南理2】已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（）A.6B.7C.8D.9【答案】B.【解析】由题意得，为圆的直径，故可设，，，∴，∴的最大值为圆上的动点到点距离的最大值，从而易得当

20、时的最大值为，故选B.【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，向量的几何意义以及点到圆上点的距离的最值问题，属于中档题，结合转化思想和数形结合思想求解最值，关键是把向量的模的最值问题转化为点与圆上点的距离的最值问题，即圆上的动点到点距离的最大值.【2016年高考北京理数】设，是向量，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由，故是既不充分也不必要条件，故选D.【名师点睛】由向量数量积的定义(为，的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可

21、以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.精彩解读【试题来源】人教版A版必修四第108页习题2.4A组第3题．【母题评析】本题为求向量模长的基本问题，求解思路，可依据完全依据进行，需要对定义的理解及运算能力是成功解题的关键。【命题意图】本类题主要考查（1）向量模长的计算及向量的数量积运算。（2）数量积的性质运用如：模长、投影、垂直等。【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中偏下．【难点中心】

22、（1）对定义的准确理解和运用是一个难点；（2）由向量数量积定义出发，综合多种条件，求模长，判断垂直等综合问题。III．理论基础·解题原理知识点一　两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则_∠AOB　＝θ(0°≤θ≤180°)，叫做向量a与b的夹角．①范围：向量a与b的夹角的范围是[0°，180°]．②当θ＝0°时，a与b_同向.③当θ＝180°时，a与b_反向.(2)垂直：如果a与b的夹角是_90°，则称a与b垂直，记作a⊥b__．知识点二　平面向量的数量积（一）设θ为a与b的夹角．(1)定义：a·b＝

23、a

24、

25、

26、b

27、cosθ.(2)投影：＝

28、a

29、cosθ叫做向量a在b方向上的投影．（二）数量积的性质(1)a⊥b⇔a·b＝0；(2)当a与b同向时，a·b＝

30、a

31、·

32、b

33、；当a与b反向时，a·b＝－

34、a

35、·

36、b

37、；特别地，a·a＝

38、a

39、2；(3)

40、a·b

41、≤

42、a

43、·

44、b

45、；(4)cosθ＝.（三）数量积的坐标表示、模、夹角已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(1)a·b＝x1x2＋y1y2；(2)

46、a

47、＝；(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0；(4)cosθ＝.【误区警示】1．两向量夹角的范围是[0，π]，a·b>0与〈a，b〉为锐角

48、不等价；a·b<0与〈a，b〉为钝角不等价．2．点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别．3．a在b方向上的投影为，而不是.【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空