导数的综合应用问题-高中数学（理）黄金100题---精校解析 Word版

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1、第29题导数的综合应用问题I．题源探究·黄金母题【例1】设，记试比较的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】先证明不等式(x>0)；设，∵∴当时，单调递增，；当时单调递减，；当x=1时，显然，因此；设，当，，即；综上：有，x>0成立；，，，故选A．精彩解读【试题来源】人教版A版选修2-2P32习题1．3B组T1改编．【母题评析】判断函数的单调性及求函数的单调区间是高中数中常见的一类典型问题，本考查了如何利用导数去判断函数的单调性及求函数的单调区间．【思路方法】判断函数的单调性基本方法有：定义法、图象法、复合函数法（同增异减），本题之后又添一

2、法——导数法，求单调区间时，要注意函数的定义域．【例2】利用函数的单调性，证明下列不等式：（1），；（2），；（3），；（4），．精彩解读【试题来源】人教版A版选修2-2P31习题1．3B组T1【母题评析】【解析】（1）证明：设，．∵，，∴在内单调递减，因此，，即，．（2）证明：设，．∵，∴当时，，单调递增，；当时，，单调递减，；又．因此，，．（3）证明：设，．∵，，∴当时，，单调递增，；当时，，单调递减，；综上，，．（4）证明：设，．∵，，∴当时，，单调递增，；当时，，单调递减，；当时，显然．因此，．由（3）可知，，．不等式证明是高中数中常见的一类典

3、型问题，本题考查了如何通过构造函数结合函数的单调性去证明不等式．【思路方法】不等式证明常用的基本方法有：综合法、比较法（作差法、作商法）、分析法，本题之后又添一法——构造函数法，要注意所构造函数的定义域．综上，，．【例3】利用信息技术工具，画出函数的图象，并改变的值，观察图像的形状：（1）你能归纳出图象的大致形状吗？它的图像有什么特点？你能从图象上大致估计它的单调区间吗？（2）运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间．【解析】（1）函数的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状．若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象

4、上能大致估计它的单调区间．（2）∵，∴．下面分类讨论：当时，分和两种情形：①当，且时，设方程的两根分别为，且，当，即或时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减．当，且时，此时，函数单调递增．②当，且时，设方程的两根分别为，且，当精彩解读【试题来源】人教版A版选修2-2P31习题1．3B组T4．【母题评析】本题通过研究三次函数的图象及单调区间，意在培养学生的数形结合思想的应用能力，在解题过程中对的讨论，又培养了学生的分类讨论思想，同时通过本题的研究，加深了学生对三次函数图象与性质的了解．【思路方法】三次函数图象与性质是近几年高考中的高频考点，同时数形结合

5、思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别是在解决函数的问题中，函数图像是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式．，即时，函数单调递增；当，即或时，函数单调递减．当，且时，此时，函数单调递减．II．考场精彩·真题回放【例1】【2017高考全国II理11】若是函数的极值点，则的极小值为（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】由题可得，∵，∴，，故，令，解得或，∴在上单调递增，在上单调递减，∴的极小值为，故选A．【例2】【2017高考全国III理11】已知函数有唯一零点，则（）A．B．C．D．1【答案】C【解析】试题分析：函数的零点满足，设

6、，则，当时，，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；当时，函数取得最小值，设，当时，函数取得最小值，若，函数与函数【命题意图】利用导数研究含参数函数的性质（单调性、极值、最值、零点等）．【考试方向】含有参数的函数导数试题，主要有两个方面：一是根据给出的某些条件求出这些参数值，基本思想方法为方程的思想；二是在确定参数的范围（或取值）使得函数具有某些性质，基本解题思想是函数与方程的思想、分类讨论的思想．含有参数的函数导数试题是高考考查函数方程思想、分类讨论思想的主要题型之一．【难点中心】1．含参数函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以

7、下几种可能：①方程是否有根；②若有根，求出根后是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法．讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．2．求函数极值的步骤：①没有交点，当时，时，此时函数和有一个交点，即，解得，故选C．【例3】【2017高考山东理20】已知函数，，其中是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，极小值是；当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，

8、函数有极大值，也有极小值，极大值是，极小值是；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上