高考专题 利用导数解决应用问题中的优化问题-高中数学（文）黄金100题---精校解析Word版

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1、第28题利用导数解决应用问题中的优化问题I．题源探究·黄金母题【例1】用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是_________．【解析】设长方体的宽为xm，则长为2xm，高．故长方体的体积为从而令，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1．当0＜x＜1时，＞0；当1＜x＜时，＜0，故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值．从而最大体积V＝3（m3），此时长方体的长为2m，高为1．5m．用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的

2、答案答：当长方体的长为2m时，宽为1m，高为1．5m时，体积最大，最大体积为3m3．【例2】圆柱形金属饮料罐容积一定时，它的高与半径应怎样选择，才能使所用材料最省？【答案】当罐高与底面直径相等时，所用材料最省．【解析】设圆柱的高为，底半径为，则表面积．由，得，因此．令，解得．精彩解读【试题来源】例1是人教版A版选修1-1P104习题3．4A组T1改编题．例2：人教版A版选修1-1P104习题3．4A组T3；例3：人教版A版选修1-1P105习题3．4B组T2．【母题评析】导数在实际中的应用是高中数中常见的一类典型问题，这类题主要考查如何利用导数解决利润最大

3、问题、面积（体积）最大问题、成本最小问题、用料最省问题等．这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度中等．【思路方法】解决优化问题的基本思路：当时，；当时，．因此，是函数的极小值，也是最小值点．此时，．答：当罐高与底面直径相等时，所用材料最省．【例3】已知某商品进价为元/件，根据以往经验，当售价是元/件时，可卖出件．市场调查表明，当售价下降10%时，销量可增加40%．现决定一次性降价，销售价为多少时，可获得最大利润？【答案】销售价为元/件时，可获得最大利润．【解析】设销售价为元/件时，利润．令，解得．当时，；当时，．因此，是函数的极小值，也是最小值

4、点．所以，销售价为元/件时，可获得最大利润．答：销售价为元/件时，可获得最大利润．II．考场精彩·真题回放【例1】【2015高考陕西理16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．【答案】【解析】建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是，设抛物线的方程为（），因为该抛物线过点，所以，解得，所以，即，所以当前最大流量是，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是，所以答案应填：．【例2】【2016高考江苏17】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱

5、锥，下部分的形状是正四棱柱(如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍．（I）若则仓库的容积是多少？（II）若正四棱柱的侧棱长为6m，则当【命题意图】这类題是利用导数解决应用问题中的优化问题．【考试方向】生活中的实际问题包括利润最大问题、面积体积最大问题、成本最低问题、用料最省问题等．导数是研究函数的重要工具，利用导数研究函数的单调性可以描绘出函数图象大致的变化趋势，是进一步解决问题的依据．分类讨论思想具有明显的逻辑特征，是整体思想一个重要补充，解决这类问题需要一定的分析能力和分类技巧．因此高考对这类题主要考查导数的运算、代数式化简与变形，考查运算

6、求解能力，运用数形结合、分类讨论的思想方法分析与解决问题能力．【难点中心】1．解决实际应用问题首先要弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型，然后将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；本题已直接给出模型，只需确定其待定参数即可．求解数学模型，得出数学结论，这一步骤在应用题中要求不高，难度中等偏下，本题是一个简单的利用导数求最值的问题．首先利用导数的几何意义是切点处切线的斜率，然后再利用导数求极值与最值．为多少时，仓库的容积最大？【答案】（I）312；（II）．【解析】（I）由已知，得，，故，，

7、故仓库的容积为；（II）解法1：设，仓库的容积为，则，，，，，，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，因此，当时，取到最大值，即时，仓库的容积最大．解法2：设，则．连结．因为在中，，即于是仓库的容积，2．例1主要考查的是定积分、抛物线的方程和定积分的几何意义，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义，即由直线，，和曲线所围成的曲边梯形的面积是．3．例4第（I）小题不清楚蓄水池体积与造价成本之间的关系，或将造价搞混淆，从而错误建立的函数关系式；第（II）小题在判断函数的单调性时，可能在

8、计算上出现错误．从而．令，得或（舍）．当时，，是单调增函数；当时，