2021届高中数学必做黄金100题28 利用导数解决应用问题中的优化问题题（解析版）.docx

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1、第28题利用导数解决应用问题中的优化问题一．题源探究·黄金母题圆柱形金属饮料罐容积一定时，它的高与半径应怎样选择，才能使所用材料最省？【答案】当罐高与底面直径相等时，所用材料最省．【解析】设圆柱的高为，底半径为，则表面积．由，得，因此．令，解得．当时，；当时，．因此，是函数的极小值，也是最小值点．此时，．答：当罐高与底面直径相等时，所用材料最省．【试题来源】人教版A版选修2-2P37习题1．4A组T3【母题评析】导数在实际中的应用是高中数中常见的一类典型问题，这类题主要考查如何利用导数解决利润最大问题、面积（体积）最大问题、成本最

2、小问题、用料最省问题等．这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度中等．【思路方法】解决优化问题的基本思路：用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案二．考场精彩·真题回放【2020年高考江苏】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，为铅垂线(在AB上)．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离18/18(米)与

3、F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为40米．（1）求桥AB的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点)．.桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k>0)，问为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？【解析】（1）设都与垂直，是相应垂足.由条件知，当时，则.由得所以（米）.【命题意图】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.【考试方向】生活中的实际问题包括利润最大问题、面积体积最大问题、成本最低问题、用料最省问题等

4、．导数是研究函数的重要工具，利用导数研究函数的单调性可以描绘出函数图象大致的变化趋势，是进一步解决问题的依据．分类讨论思想具有明显的逻辑特征，是整体思想一个重要补充，解决这类问题需要一定的分析能力和分类技巧．因此高考对这类题主要考查导数的运算、代数式化简与变形，考查运算求解能力，运用数形结合、分类讨论的思想方法分析与解决问题能力．【学科素养】数学运算、数学建模18/18（2）以为原点，为轴建立平面直角坐标系（如图所示）.设则.因为所以.设则所以记桥墩和的总造价为，则，令得所以当时，取得最小值.答：（1）桥的长度为120米；（2）当

5、为20米时，桥墩和的总造价最低.【难点中心】1．解决实际应用问题首先要弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型，然后将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；本题已直接给出模型，只需确定其待定参数即可．求解数学模型，得出数学结论，这一步骤在应用题中要求不高，难度中等偏下，本题是一个简单的利用导数求最值的问题．首先利用导数的几何意义是切点处切线的斜率，然后再利用导数求极值与最值．三．理论基础·解题原理考点一优化问题：社会经济生活、生产实践与科学研究等实际问题中有关求利润最大

6、、用料最省、效率最高等问题通常称为优化问题．18/18利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：（1）抽象出实际问题的数学模型，列出函数关系式；（2）求函数的导数，并解方程，即求函数可能的极值点；（3）比较函数在区间端点处的函数值和可能极值点处的函数值的大小，得出的最大值或最小值；（4）根据实际问题的意义给出答案．四．题型攻略·深度挖掘【考试方向】利用导数解决应用问题中的优化问题主要包括以下几个方面：利润最大问题、面积（体积）最大问题、成本最小问题、用料最省问题等．这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度中等．考向1利润最

7、大问题【2018山东菏泽上学期期末联考】某电子公司开发一种智能手机的配件，每个配件的成本是15元，销售价是20元，月平均销售件，通过改进工艺，每个配件的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果每个配件的销售价提高的百分率为，那么月平均销售量减少的百分率为，记改进工艺后电子公司销售该配件的月平均利润是（元）．（I）写出与的函数关系式；（II）改进工艺后，试确定该智能手机配件的售价，使电子公司销售该配件的月平均利润最大．【答案】（I）与的函数关系式为；（II）改进工艺后，每个配件的销售价为元时，该电子公司销售该配件的月

8、平均利润最大．【温馨提醒】18/18【解析】（I）改进工艺后，每个配件的销售价为，月平均销售量为件，则月平均利润（元），与的函数关系式为（II）由得（舍）当时；时，函数在取得最大值，故改进工艺后，每个配件的销售价为元时，该电子公司销售该配件的月平均