第28题利用导数解决应用问题中的优化问题-2018原创精品之高中数学（文）黄金100题系列（解

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1、精彩解读【试题来源】例1是人教版A版选修1-1P104习题3・4A组T1改编题.例2：人教版A版选修1-1P1O4习题3・4A组T3；例3：人教版A版选修1・1P“5习题3・4B组丁2・【母题评析】导数在实际中的应用是高中数中常见的一类典型问题，这类题主要考查如何利用导数解决利润最大问题、面积(体积)最大问题、成本最小问题、用料最省问题等.这类试题在考査题型上，通常以解答题的形式出现，难度中等.【思路方法】解决优化问题的基本思路:当Rw,S'(/?)vO；当G时，&(/?)>()•第28题利用导数解决应用问题中的优化问题I.题源探究・黄金母题【例1】用

2、长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽Z比为2：1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大？最大体积是.【解析】设长方体的宽为xm,则长为2xm,高,18-12x一c/、-3)h==4.5一3x(m)(Xx<—•4I2)故长方体的体积为V(x)=2x2(4.5-3兀)=9x2一6x3(m3)(0

3、).从而Vx)=18x-18x2=18x(1-兀)・令VZ(X)=0,解得尸0(舍去)或尸1,因此尸1.3当0<兀<1时，V'(X)>0；当1<兀<—时，V'(X)<0,故在x=l处《(兀)収得极大值，并且这个极大值就是V(

4、x)的最大值.从而最大体积V=3(m3)，此吋长方体的长为2m,高为1.5m.答：当长方体的长为2m时，宽为1m,高为1.5m时，体积最人，最人体积为3m3.【例2】圆柱形金属饮料罐容积一定时，它的高与半径应怎样选择,才能使所用材料最省?【答案】当罐高与底血直径相等吋，所用材料最省.【解析】设圆柱的高为/2,底半径为/?,则表面枳S=2iiRh+2KR2.由V=TtR2h,得/?=—,因此tiR2S(R}=2nR-^+2jtR2=—+2nR2,R>0・tiRR2V令S'(/?)=+4兀/?=0,R是函数s（/?）的极小值，也是最小值点.VV此时，/?=

5、——7=2彳——=2R.nR2V2k答：当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.【例3】已知某商品进价为d元/件，根据以往经验，当售价是（4、bh>-a元/件时，可卖出c件.市场调查表明，当售价下降10%I3）时，销量可增加40%.现决定一次性降价，销售价为多少时，可获得最大利润？【答案】销售价为鱼竺元/件时，可获得最大利润.8【解析】设销售价为兀元/件时，利润令厶©）匕邑+血塑=0,解得"如鱼84a+5b8丿(譽泸rW

6、值点.所以,销售价为鱼竺元/件吋，可获得最大利润.8答：销售价为出竺元/件时，对获得最大利润.考场精彩•真题回放【例1】【2015高考陕西理16】如图，一横截血为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为【答案】1・2【解析】建立空间直角坐标系，如图所示:设抛物线的方程为x2=2py（p>0）,因为该抛物线过点（5,2）,所以2px2=52,25252解得p=——，所以F=—y,即y=—%2,所以4225最大流量22=、2x5-看><5〔一2x（-5）-—x（-5）故原始的最大流量与

7、当前最大流量的比值是^-=1.2,所以答案T7540=—，3应填：1.2.【例2］【2016高考江苏17］现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P—A&CQ,下部分的形状是正四棱柱ABCD-B}C}D}（如图所示），并要求正四棱柱的高0

8、0是正四棱锥的高的4倍.（I）若AB=6m,PQ=2m,则仓库的容积是多少?【命题意图】这类題是利用导数解决应用问题中的优化问题.【考试方向】生活中的实际问题包括利润最大问题、面积体积最大问题、成本最低问题、用料最省问题等.导数是研究函数的重要工具，利用导数研究函数的单调性可以描绘出函数图象大

9、致的变化趋势，是进一步解决问题的依据.分类讨论思想具有明显的逻辑特征，是整体思想一个重要补充，解决这类问题需要一定的分析能力和分类技巧.因此高考对这类题主要考查导数的运算、代数式化简与变形，考査运算求解能力，运用数形结合、分类讨论的思想方法分析与解决问题能力.【难点中心】1.解决实际应用问题首先要弄清题意,分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型，然后将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；本题已直接给出模型，只需确定其待定参数即可.求解数学模型，得出数学结论，这一步骤在应用题中要求不高，难度中等偏下

10、，本题是一个简单的利用导数求最值的问题.首先利用导数的几何意义是切点处切线的斜率，然后结因为在