第25题利用导数研究函数的单调性-2018原创精品之高中数学（文）黄金100题系列（原卷版）

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1、精彩解读【试题来源】人教版A版选修2-2第26页练习第1题【母题评析】判断函数的单调性及求函数的单调区间是高中数中常见的一类典型问题，本考査了如何利用导数去判断函数的单调性及求函数的单调区间。【思路方法】判断函数的单调性基本方法有：定义法、图象法、复合函数法（同增异减），本题之后又添一法一一导数法，求单调区间时，要注意函数的定义域。【试题来源】人教版A版选修2-2第26页练习第3题【母题评析】二次函数的单调性是初中就学习过的一个知识点，本题利用导数去讨论二次函数的单调性，既复习了旧的知识点，又练习新知识点。第25题利用导数研究函数的单调性I.题源探究・黄金母题【例1］判断下列函

2、数的单调性，并求出单调区间:（1）=x2-2x+4;（2）/（x）=ex-x;⑶/(x)=3x-x3;⑷/(x)=x3-x2-x；【解析】(1)v/(%)=x2-2x+4,・/(x)=2%-2.当广(兀)>0，即兀>1时，函数f(x)=x2-2x+4单调递增；当fx)<0,即xv1时，函数f(x)=x2-2x+4单调递减.(2)Vf(x)=ex-x9fx)-ex-1.当广(兀)>0,即兀>0时,f(x)=ex-x单调递增；当fx)<0,即兀v0时，/(x)=ex-x单调递减.(3)V/(x)=3x-x・・・/©)=3_3兀2.当f(x)>0,即-1

3、x)=3x-x3单调递增;当fx）<0,即兀v-l或兀〉1时,f（x）=3x-x3单调递减.(4)•/f(x)=x3-x2-x,.Ifx)=3x2-2x-.当>0,即兀v—丄或兀>1时,f(x)=xi-x2-x单调递增;当fx)V0,即一丄V兀V1时,f(x)=x3-x2-x单调递减.【例2］讨论二次函数f(x)=ajc2+加+c(d工0)的单调区间。【解析】•.丁⑴二仮‘+加+“^工。)，.・・J'(x)=2or+b(1)当g>0时，hfx)>0,即兀〉时，/(x)=ax2++c(a/0)单调递增;*2afx)<0,U卩x<一~时，/(x)=ax2+bx+c(dH

4、0)单调递减.2a(2)当qvO时,【思路方法】初中在研究二次函数的/(x)=ax2+/zx+c(G丰0)单调递增;f(x)=ax2+bx+c(a丰0)单调递减.单调性时，主要侧重于数形结合，而本题旧题新解，利用导数去讨论二次函数的单调性，侧重于理论推导。【试题來源】人教版A版选修2-2第31页习题1・3B组第1题【母题评析】不等式证明是高中数中常见的一类典型问题，本题考查了如何通过构造函数结合函数的单调性去证明不等式。【思路方法】不等式证明常用的基本方法有：综合法、比较法（作差法、作商法）、分析法・，本题之后又添一法一一构造函数法，要注意所构造函数的定义域。【例3】利用函数的

5、单调性，证明下列不等式：(1)sinxv兀，xe(0,^);(2)x-x2>0>xe(0,1);(3)ex>x+1,xHO；(4)x0；【解析】(1)证明：设/(x)=sinx-x,xg(0,^-).*/fx)=cosx-l<0,xe(0,龙),二f(x)=sinx—兀在(0,兀)内单调递减，因此f(x)=sinx-x0,/(兀)单调递2增，f(x)=x-x2>

6、/(0)=0；当xw(*,l)时，f{x)=1-2x<0,/(兀)单调递减,f(x)=x-x2>/(l)=0；X/(—)=—>0.因此，x-x2>0,xg(0,1).24(3)证明：设/(x)=Z-l-x,兀HO.・.・fx)=ex-lf"0,・••当x>0时，f(x)=ex-l>Off(x)单调递增，f(x)=eA-l-x>f(O)=O；当x<0时，fx)=ex-l<0,/(x)单调递减，/(x)=ex--x>/(0)=0；综上，ev-1>xfxhO.(4)证明:设f(x)=lnx-x,x>0.fx)=—1,兀HO,・・・当Ovxvl时,/(%)=--!>0，单调递增

7、,X/(jv)=lnx-xx+1>x,x>0.综上,x0o【例4】利用信息技术工具，画出函数/(x=or3+/?%24-cx+d的图象，并改变a,b,c,d的值，观察图像的形状：(1)你能归纳出/(x)=ca3+Z?x24-cx+d图象的大致形状吗？它的图像有什么特点？你能从图象上大致估计