第26题利用导数研究函数的最值与极值-2018原创精品之高中数学（文）黄金100题系列（原卷版）

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1、第26题利用导数研究函数的最值与极值I.题源探究・黄金母题【例1］■(I)求函数-4x+4的极值；(II)求函数f(x)=-x3-4x+4在［0,3］上的最大值与最小值.【答案】(I)当x=-2吋，/(刃有极大值，并且极大值为2Q/(-2)=y;当"2时，/*(刃有极小值,并且极小值为41/(2)=--；(II)函数/(兀)=亍3—4兀+4在［0,3］上的最大4值是4,最小值是-一・3【解析】(I)/(x)=*兀’一4兀+4,/./z(x)=x2-4=(x+2)(x-2).令广(兀)=0,解得x=-2或x=2・下面分两种情况讨论：X(一8,-2)-2(-2,2)2(2,+oo)广(兀)

2、+0—0+心)单调递增口28T单调递减口43单调递增口当兀变化时，广(兀)，/(兀)的变化情况如下表:因此，当x=-2时，/(兀)有极大值，并且极大值为/(-2)二丁;当x=2时,/(x)有极小值，并且极小值为/(2)=(IDvxe［0?3］,结合(I)列表：X0(0,2)2(2,3)3—0+(1)当/z(x)>0,即兀v—2,或x>2时;(2)当.厂(x)v0,即一2

3、最值.【思路方法】一、求函数极值的一般步骤：(1)求函数/・(尢)的定义域；(2)求(兀);(3)求方程,f(x)=0的根；(4)检査/©)在方程广(兀)=0的根的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么/(%)在这个根处取得极大值;如果左负右正，那么/(对在这个根处取得极小值.二、求函数y=/(x)在［a,切上的最大值与最小值的一般步骤：(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值；(2)将函数y二/(x)的各极值与端点处的函数值/(a)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【命题意图】本类题通常主要考查利用导数求函数的极值及函数在闭区间上的最值.【考试方向】这类试题在考

4、查题型上，可以是选择题、填空题或解答题，难度中等；若为压轴题，则难度大.•【难点中心】(1)可导函数y=/(x)在点兀处取得•极值的充要条件是广(兀)=0,且在x0左侧与右侧/z(x)的符号不同.(2)若/(兀)在(a,b)内有极值,那么/(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调增或减的函数没有极值.28T单调递减口4~3单调递增口1当兀二2时，/(x)有极小值，并且极小值为/(2)=--・又由于/(0)=4,/(3)=1,因此，函数y(x)=-x3-4x+4在［0,3］上的最大值是4,最小值是一311・考场精彩・真题回放【例1】［2017高考课标II理11】若x=-2是函

5、数=—的极值点，则/(兀)的极小值为()A.-1B.-2e~3C.5^-3D.1【答案】A【解析】试题分析：由题可得fXx)=(2x+a)ex-1+&+ax-X)exA=［F+(a+2)x+a-rex'1・因为f(-2)=0,所以a=-,f(x)=(x2-x-)ex-［,故fx)=(x2+x-2)ev_,令fx)>0,解得x<-2或兀>1,所以/(x)在(-oo,—2),(1,+oo)单调递增,在(-2,1)单调递减,所以/(兀)极小值为/(1)=(1-1-1)*“=-1,故选A.【例2】［2017高考山东文20］已知函数x3--ax22(I)当a=2时，求曲线y=f(x)在

6、点(3,/(3))处的切线方程;(II)设函数g(兀)=/(兀)+(兀一a)cos兀一sin兀，讨论g(兀)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.【答案】(1)3兀-)；-9=0；(II)(1)。=0无极值；(2)av0极大值为一—a3-sinat极小值为-a；(3)a>0极大值为-g,极小6值为-丄/-sina.6【解析】试题分析：(I)根据求出切线斜率，再用点斜式写出切线方程；(II)由g'(兀)=(兀一0)(兀一sinx),通过讨论确泄g(x)单调性，再由单调性确定极值.试题解析：(I)由题意/(x)=x2-ax,所以，当a=2时，/(3)=0,f'(x)=x2-2x,所以f

7、⑶=3,因此,曲线y二/(兀)在点(3J⑶)处的切线方程是丿=3(兀_3),即3x-y-9=0.(II)因为g(A：)=f(x)+(x-a)cosx-sinx,所以g(%)=f+cosx-(x-tz)sinx-cosx-x(x-ci)-(x-a)sinx=(x-tz)(x-sinx)令h(x)=x-sinx,则h(x)=-cosx>0,所以/2(x)在R上单调递增，因为h(0)=0,所以，当兀>0时，h(x)>0；当兀<0时，h(x)<0.(