第29题导数的综合应用问题-2018原创精品之高中数学（文）黄金100题系列（原卷版）

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1、第29题导数的综合应用问题I.题源探究・黄金母题彩解读【试题来源】人教版A版选修2-2P32习题1・3B组Ti改编.【母题评析】判断函数的单调性及求函数的单调区间是高中数中常见的一类典型问题，本考查了如何利用导数去判断函数的单调性及求函数的单调区间.【思路方法】判断函数的单调性基本方法有：定义法、图象法、复合函数法（同增异减），本题之后又添一法——导数法，求单调区间时，要注意函数的定义域.兀【例1】设0

2、b0)；设/(x)=lnx-x?x>0,•.・=:.当0vjcv1时，%/V)=--i>o,/(x)单调递增,y(x)=x-x0,・.•g'(x)=-ex当x>0时g'(x)<0,・・・g(兀)在(0,+oo)单调递减・•・g(x)vg(O)=O,即X

3、ex»x>0成立；*•*0vxvf,・•・00>xg(0,1);(3)ex>x+1,xH0；(4)x0.【解析】(1)证明：设/(x)=sinx—无，xg(09k).・・・精彩解读【试题來源】人教版A版选修2-2P31习题1.3B组Ti【母题评析】不等式证明是高中数中常见的一类典型问题，本题考查了如何通过构造函数结合函数的单调性去证明不等式.【思路方法】

4、不等式证明常用的基本方法有：综合法、比较法.（作差法、fx)=cosx-1<0,xe(0,兀)，・：/(x)=sinx-x在(0,兀)内作商法）、分析法，本题之后又添一法一一构造函数法，要注意所构造函数的定义域.单调递减，因此f(x)=sinx-x0,f(x)单调递增，/(x)=x-x2>/(0)=0；当xw(丄,1)时，/(x)=

5、l-2x<0,.fO)单调递减，./*(兀)=兀一兀2>f(l)=0；X/(-)=->0.因此，X-X1>0,XG(0,1).(3)证明：设fx)=ex--x,兀工0.・.・f(x)=ex-1,xhO,・•・当x>0时，f(x)=ex->0,f(x)单调递增，f(x)=ex--x>f(0)=0；当x<0H寸，fx)=ex-l<0,f(x)单调递减，f(x)=ex--x>f(0)=0；纟宗上,ex-x兀工0.(4)证明：设/(x)=lnx-x,兀>0.Vf(x)=--,"0,・••当0vxvl时，/©)=丄一l>0

6、,XX/(兀)单调递t曾,/(x)=ln^-^1时，/(a：)=--1<0，/(x)单调递减，f(x)=x-x%+1>x,x>0.综上，lnx0.精彩解读【试题来源】人教版A版选修2-2P31习题1・3B组T"【母题评析】本题通过研究三次函数的图象及单调区间，意在培养学生的数形结合思想的应用能力，在解题过程中对。的讨论，又培养了学生的分类讨论思想，同时通过本题的研究，加深了学生对三次函数图象

7、与性质的了解.【思路方法】三次函数图象与性质是近几年高考中的高频考点，同时数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别是在解决函数的问题中,函数图像是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常釆用的命题形式.【例3】利用信息技术工具，画出函数/(x=ax3^hx2^-cr+d的图象，并改变a,b,c,d的值，观察图像的形状：(1)你能归纳出/(兀+〃图象的大致形状吗？它的图像有什么特点？你能从图象上大致估计它的单调区间吗？(2)运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间.【解析】(1)函数f(x)=ax^bx2+cx+d

8、的图象大致是个“双峰”图象，类似或“s”的形状.若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.(2)*.*/(%)=ax3+bx2+ex+J,・*.fx)=3ox2+Ibx-^-c.下面分类讨论：当ghO时，分g>0和gvO两种情