2021届高中数学必做黄金100题26 利用导数研究函数的最值与极值题（解析版）.docx

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1、第26题利用导数研究函数的最值与极值一．题源探究·黄金母题（I）求函数的极值；（II）求函数在上的最大值与最小值．【答案】（I）当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为；（II）函数在上的最大值是，最小值是．【解析】（I）．令，解得或．下面分两种情况讨论：（1）当，即，或时；（2）当，即时．当变化时，的变化情况如下表：单调递增单调递减单调递增因此，当时，有极大值，并且极大值为【试题来源】（I）人教版A版选修2-2P28例4；（II）人教版A版选修2-2P30例5．【母题评析】求函数的极值及函数在闭区间上的最值是高中数中常见的一类典型问题，本

2、题考查了如何利用导数求函数的极值及最值．【思路方法】一、求函数极值的一般步骤：（1）求函数的定义域；（2）求；（3）求方程的根；（4）检查在方程的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值．二、求函数在18/18；当时，有极小值，并且极小值为．（II），结合（I）列表：单调递减单调递增当时，有极小值，并且极小值为．又由于，因此，函数在上的最大值是，最小值是．上的最大值与最小值的一般步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．二

3、．考场精彩·真题回放【2020年高考北京】已知函数．（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．18/18【解析】（Ⅰ）因为，所以，设切点为，则，即，所以切点为，由点斜式可得切线方程：，即.（Ⅱ）显然，因为在点处的切线方程为：，令，得，令，得，所以，不妨设时，结果一样，则，所以，由，得，由，得，【命题意图】本类题通常主要考查利用导数求函数的极值及函数在闭区间上的最值．【考试方向】这类试题在考查题型上，可以是选择题、填空题或解答题，难度中等；若为压轴题，则难度大．【学科素养】数学运算【难点中心】（1）可导

4、函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同．（2）若在内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．18/18所以在上递减，在上递增，所以时，取得极小值，也是最小值为.三．理论基础·解题原理考点一利用导数研究函数的极值与最值设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法．考点二已知函数极值（最值）情况求参数的值或取值范围先求导函数，将其转化为导函数在这个区间上大于（增函数）（小于（减函数））0恒成立问题，通过函数方法或

5、参变分离求出参数范围，注意要验证参数取等号时，函数是否满足题中条件，若满足把取等号的．四．题型攻略·深度挖掘【考试方向】含有参数的函数导数试题，主要有两个方面：一是根据给出的某些条件求出这些参数值，基本思想方法为方程的思想；二是在确定参数的范围（或取值）使得函数具有某些性质，基本解题思想是函数与方程的思想、分类讨论的思想．含有参数的函数导数试题是高考考查函数方程思想、分类讨论思想的主要题型之一．这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度中等．考向1利用导数求函数的极值已知函数f(x)=x(lnx-ax)，(a?R)．（I）若a=0时，求函数f(x)的

6、最小值；（II）若函数f(x)既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．【答案】（I）-1e；（II）0

7、a?0时，h'(x)>0，h(x)=f'(x)在(0,+?)上单调递增，故f'(x)在(0,+?)上至多有一个零点，此时，函数f(x)在(0,+?)上至多存在一个极小值，不存在极大值，不符题意；②当a>0时，令h'(x)=0，可得x=12a，列表：x(0,12a)12a(12a,+∞)h'(x)+0-h(x)↗极大值↘若h(12a)d0，即a?12，h(x)dh(12a)d0，即f'(x)?0，故函数f(x)在(0,+?)上单调递减，函数f(x)在(0,+?)上不存在极值，与题意不符，若h(12a)>0，即01>1e本题主要考查导数

8、在函数中的应用，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与