利用导数研究函数的最值与极值-高中数学（理）黄金100---精校解析 Word版

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1、第26题利用导数研究函数的最值与极值I．题源探究·黄金母题【例1】（I）求函数的极值；（II）求函数在上的最大值与最小值．【答案】（I）当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为；（II）函数在上的最大值是，最小值是．【解析】（I）．令，解得或．下面分两种情况讨论：（1）当，即，或时；（2）当，即时．当变化时，的变化情况如下表：单调递增单调递减单调递增因此，当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为．（II），结合（I）列表：精彩解读【试题来源】（I）人教版A版选修2-2

2、P28例4；（II）人教版A版选修2-2P30例5．【母题评析】求函数的极值及函数在闭区间上的最值是高中数中常见的一类典型问题，本题考查了如何利用导数求函数的极值及最值．【思路方法】一、求函数极值的一般步骤：（1）求函数的定义域；（2）求；（3）求方程的根；（4）检查在方程的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值．二、求函数在上的最大值与最小值的一般步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，单调递减单调递增当

3、时，有极小值，并且极小值为．又由于，因此，函数在上的最大值是，最小值是．其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．II．考场精彩·真题回放【例1】【2017高考课标II理11】若是函数的极值点，则的极小值为（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】试题分析：由题可得．因为，所以，，故令，解得或，所以在单调递增，在单调递减，所以极小值为，故选A．【例2】【2017高考山东理20】已知函数，，其中是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；【命题意图】本类题通常主要考查利用导数求函数的极值及函数在闭区间

4、上的最值．【考试方向】这类试题在考查题型上，可以是选择题、填空题或解答题，难度中等；若为压轴题，则难度大．【难点中心】（1）可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同．（2）若在内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，极小值是；当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是，极小值是；当时，

5、函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是；极小值是．【解析】试题分析：（Ⅰ）求导数得斜率，由点斜式写出直线方程．试题解析：（Ⅰ）由题意．又，∴，因此曲线在点处的切线方程为，即．，即．（Ⅱ）由题意得，∵，令，则，∴在上单调递增．∴当时，单调递减，当时，．（I）当时，，当时，单调递减；当时，单调递增，所以当时取得极小值，极小值是．（II）当时，．由得，．①当时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增．∴当时取得极大值，极大值为，当时

6、取到极小值，极小值是；②当时，，∴当时，，函数在上单调递增，无极值；③当时，，∴当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；∴当时取得极大值，极大值是；当时取得极小值，极小值是．综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，极小值是；当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是，极小值是；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是；极小值是．【例3】【2017高考北京理19】已知函数．（

7、Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，求斜率再代入切线方程公式；（Ⅱ）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调减求函数的最大值，可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，根据单调性求最值．试题解析：（Ⅰ）因为，所以【命题意图】本类题通常主要考查利用导数求函数的最值．【考试方向】这类试题在考查题型上，可以是选择题、填空题或解答题，难度中等．【难点中心】第二问比较有特点是需要求二阶导数，因为不能判断函

8、数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是恒成立，这样就能知道函数．又因为，所以曲线在点处的切线方程为．（Ⅱ）设，则．当时，，所以在区间上单调递减．所以对任意有，即．所以函数在区间上单调递减．因此在区间上的最大值为，最小值为．【例4】【2017高考江苏20】已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（I）求关于的函数关系式，并写出定义域；（II）证明：；（III）若