33利用导数研究函数的极值和最值(理)

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1、§3.3利用导数研究函数的极值和最值知识要点梳理一.函数的极值1.函数极值定义一-般地，设西数f(x)在点X。附近有定义，如果对X。附近的所有的点，都有f(x)f(x°).就说f(x°)是函数f(x)的一个极小值,记作工极小值=f(XQ),X()是极小值点。极大值与极小值统称为极血2.判别/U())是极大、极小值的方法：若兀0满足广Uo)=O,且在兀0的两侧/(力的导数异号，则兀0是fW的极值点,/(%0)是极值，并几如果广(兀)在兀0两

2、侧满足“左止右负”,则心是£(兀)的极大值点,/(x0)是极人值;如果广⑴在兀()两侧满足“木负右止”,则兀0是f&)的极小值点,/(x0)是极小值.3.求可导函数/U)的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数厂(X)・⑵求方程厂(x)=0的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间,并列成表格.检查f(力在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么几丫)在这个根处取得极人值；如果左负右匸,那么心)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号,那么/W在这个根处无极值.二.函数的最大值与最小值1.函数的最大值与最小值：在闭区间卜,切上图像连续不断的

3、函数/⑴在血引上必有最人值与最小值.2.利用导数求函数的最值步骤：设函数门兀)在在Q,b)内可导，在闭区间［d,b］上图像连续不断，求*1数/(兀)在k，b］上的最人值与最小值的步骤如下:⑴求/(兀)在(d,b)内的极值;(2)将f3的各极值与比较，得出函数/(X)在［a,切上的最值，其屮最人的一个是授大值，授小的一个是授小值。疑难点、易错点剖析1由极值的定义可知，取得极值的点称为极值点，极值点是口变量的值，极值指的是函数值。此外请注意以下几点：(i)极值是一个局部概念。由定义可知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小•并不意味着它在函数的整个的定义域

4、内最人或最小.(ii)函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极人值或极小值可以不止一个.(iii)极大值与极小值Z间无确定的大小关系•即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，州是极大值点，兀是极小值点，而/(x4)>/(xJ・(ii)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数収得最大值、最小值的点对能在区间的內部，也可能在区间的端点。(V)可导函数的极值点的导数为0,但是导数为0的点不一定是极值点，如函数y=x?在x=0处导数为0,但x=0不是极值点。(Vi)函数在一点xo处有极值，不一定在该点可导。如函数y=

5、x

6、在x=0有

7、极小值，但在x=0处不可导即导数不存在。1.对于函数的最值问题，应注意以下儿点：(1)在闭区间［a,b］±图像连续不断的函数/(兀)在［。,方］上必有最人值与最小值.(2)在开区间(d,b)内图像连续的函数于(对不一定冇最大值与最小值.如函数/(%)=-在(0,+8)内连续，但没有最大值与最小值;X(3)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；而函数的极值是比鮫极值点附近函数值得出的.(4)函数/(x)在闭区间［°上］上的图像连续不断，是/(x)在闭区间［a.b］上启最大值与最小值的充分条件而非必要条件.如函数X~.X

8、,x=oL」值，最小值，(最人值是0,最小值是-2),但其图像却不是连续不断的(如右图)。(5)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各冇一个，而函数的极值可能不止一个,也可能没冇一个。(6)若函数f(x)只有一个极值，则必为最值。若函数f(x)在闭区间［a,b］上递增，则/(Quin=/(o)，若函数f(x)在闭区间［a,b］上递减,则/Wniin=/(/7),/(Qnax=/(G)。直击考点考点一求含字母参数的函数的极值考例1・(06安徽卷)设函数/(x)=%3+bx2+cx(xg/?),已知g(兀)=/(兀)一广(兀)是奇函数。(I)求/?、C的值。(II)求g(Q

9、的单调区间与极值。思路分析：先求出fx),再利用奇函数定义即可求ll!b,c的值，再利用导数这一工具,可求出函数的单调区间及极值解析：(I)T/*(兀)=疋+cx,/'(x)=3x2+2bx+c0从而g(x)=f(x)-ff(x)=x3+bx2+ex-(3x2+2hx+c)=x3+(/?-3)x2+(c-2h)x-c是一个奇函数，所以g(0)=0得c=0,由奇函数定义得h=3；(II)由(I)知g(兀)=，-6兀,从而gr(x)=3x2-6,令gx)=3x2-6=0,解得x=±迈,由gr(x)=3兀2—6>0,解得兀>迈或