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《33应用导数研究函数的极值和最值(理)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、§3.3利用导数研究函数的极值和最值知识要点梳理一.函数的极值1.函数极值定义一•般地，设函数f（x）在点X。附近有定义，如果对X。附近的所有的点，都有f（x）＜f（xo）,就说f（x（））是函数f（x）的一个极大值,记作y极人俩=f（xQ,Xn是极大值点。如果对x（）附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0）.就说f（xQ是函数f（x）的•个极小值,记作丫极小值二f（x°）,X。是极小值点。极人值与极小值统称为极值.2.判别/（必）是极大、极小值的方法：若兀。满足厂（勺）=0,在兀。的两侧/（兀）的导数异号，则心是/（X）的极值点，/（x0）是极
2、值，并且如果fx）在兀。两侧满足“左匸右负”,则兀。是f（力的极大值点,/（兀0）是极人值；如果广（尢）在心两侧满足“左负右正”,则X。是f（兀）的极小值点,/（Xo）是扌及小值.3.求可导函数人兀）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，导数厂（力・⑵求方程f（x）=0的根.⑶用两数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若丁小开区间,并列成表格.检查f（力在方程根左右的值的符号,如果左止右负,那么/⑴在这个根处取得极大值；如果左负右匸,那么人劝在这个根处取得极小值；如果左右不改变符巧,那么/U）在这个根处无极值.二.函数的最大值与最小值1.函
3、数的最大值与最小值：在闭区间［a,b］上图像连续不断的函数f（力在［/引上必冇最大值与最小值.2.利用导数求函数的最值步骤：设函数/（兀）在在（a,b）内可导，在闭区间［。,引上图像连续不断，求函数/（兀）在［。,切上的最人值与最小值的步骤如下：⑴求f（x）在（a,b）内的极值;⑵将f（兀）的各极值与比较，得出函数/（x）在［a,b］上的最值，其屮最人的一个是最大值，最小的一个是最小值。疑难点、易错点剖析1由极值的定义町知，取得极值的点称为极值点，极值点是口变量的值，极值指的是函数值。此外请注意以下儿点：(i)极值是一个局部概念。由定义可知，极值
4、只是某个点的函数值打它附近点的函数值比较是最大或最小•并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.(ii)函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值町以不止一个.(iii)极人值与极小值Z问无确定的人小关系•即一个函数的极大值耒必大于极小值，如下图所示，州是极人值点，兀4是极小值点，而/U4)>/U
5、)・(iv)曲数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。(V)可导函数的极值点的导数为0,但是导数为0的点不一定是极值点，如函数尸X’在X二
6、0处导数为0,但x=0不是极值点。(Vi)函数在一点xo处有极值，不一定在该点可导。如函数y=
7、x
8、在x=0有极小值，但在x=0处不可导即导数不存在。2.对于函数的最值问题，应注意以卜儿点：(1)在闭区间［a.b,上图像连续不断的函数/(幻在［a,b］.上必冇最大值与最小值.(2)在开区间(d,b)内图像连续的函数/(对不一定冇最大值与最小值.如函数f(x)=丄在(0,+°°)内连续，但没有最人值与最小值；x(3)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；而函数的极值是比较极值点附近函数值得岀的.(4)函数于(兀)在闭区间［a,b］上的图像连
9、续不断，是/(兀)在闭区间［。,乩上有最人值与最小值的充分条件而非必耍条件.如函数-x-l,
10、x<1但兀工00,x=0值，最小值，(最人值是0,最小值是-2),但其图像却不是连续不断的(如右图)。(2)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个,也可能没有一个。(6)若函数f(x)只有一个极值，则必为最值。若函数f(x)在闭区间［a,b］上递增，则/(x)min=f(a),/(x)max=f(b)；若函数f(x)在闭区间［a,b］上递减，则/(x)min=f(b),/(叽直击考点考点一求含字母参数的函数的极值考例1.
11、(06安徽卷)设函数/(x)=?+&x2+cx(xg/?),□知g(x)=f(x)-fx)是奇函数。(I)求/?、C的值。(II)求g(Q的单调区间与极值。思路分析：先求出f*(x),再利用奇函数定义即可求ll!b,c的值，再利用导数这一工具,可求出函数的单调区间及极值解析：(I)T/(兀)=疋+cx,二/'(X)=3兀2+2bx+c。从而g(x)=f(x)-fXx)=x3+/?x2+ex-(3x2+2hx+c)=x3+(b-3)x2+(c-2b)兀一c是一个奇函数，所以g(O)=0得c=0f由奇函数定义得b=3；(II)由(I)知g(x)=/
12、-6兀，从而g'(x)=3x2-6,令gx)=3x2-6=0,解得x=±V2,由=3%2-6>0,解得x>近或x<-V2,gz(x)=
