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《导数在研究函数的极值和最值的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、导数在研究函数的极值和最值的应用一、知识点1．函数的极值：求函数极值的步骤：⑴求；⑵求方程的根；⑶检查在方程的根左右的符号，如果左正右负，则在这个根处取得极大值；如果左负右正，则在这个根处取得极小值。2．函数的最值：求函数在上的最值的步骤：⑴求在内的极值；⑵将的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。二、例题xyx4OoO例1．⑴已知函数的导函数的图像如下，则（）A.函数有1个极大值点，1个极小值点.B.函数有2个极大值点，2个极小值点.C.函数有3个极大值点，1个极小值点D.函数有1个极大值点，3个极小值点析：因为极值点左右
2、两边异号，所以是极大值点，是极小值点，选A⑵函数在处取得极小值.析：，∴的增区间为，减区间为，∴在处取得极小值.⑶函数在处有极值，则.析：，依题意得：且，解得：或，但时，恒成立，即不是的极值点，舍去，∴⑷设，若函数，（）有大于零的极值点，则____.A.B.C.D.析：依题意，令得：，当无解；当例2．⑴函数（为常数）在上有最大值，则在上有最小值为______.析：令得：或时有极值，又∵，∴的最大值为，即，∴在上有最小值为⑵.已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（）A.万件B.万件C.
3、万件D.万件三、练习题1.函数的定义域为,其导函数在内的图象如图所示，则函数在区间内极小值点的个数是（）A．1B．2C．3D．42.函数，已知的两个极值点为，，则的值为A．B．C．D．3.函数有____A.极大值,极小值B.极大值,极小值C.极大值,极小值D.极大值,极小值4.若函数在处取极值,则5.函数在及处取得极值，则.6.函数既有极大值又有极小值,则的取值范围是________.7.函数在内有极小值，则的取值范围是________.A.B.C.D.8.函数在区间上的最大值为_____.A.B.C.D.9.已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则10.
4、函数的最大值为_________.11.设函数,当时取得极大值,时取得极小值,⑴求的最大值；⑵求的取值范围.12．已知是实数，函数（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）设为在区间上的最小值,写出的表达式.解：函数的定义域为，（）．若，则，有单调递增区间．若，令，得，当时，，当时，．有单调递减区间，单调递增区间．（Ⅱ）解：（i）若，在上单调递增，所以．若，在上单调递减，在上单调递增，所以．若，在上单调递减，所以．综上所述，13.已知函数(为常数).（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）求函数在上的最值；解：（Ⅰ）当时，函数=，函数的定义域为由得：，∴函数的单调增区间为；
5、由得：，∴函数的单调减区间为；（Ⅱ）∵,①若，则对任意的都有，∴函数在上为减函数,∴在上有最大值，没有最小值，；②若，令得，当时，，∴时，函数在上为减函数，时，函数在上为增函数∴时，函数有最小值，当时，，在恒有，∴函数在上为增函数，在有最小值，；14.已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．（1）求二次函数的解析式;（2）设,如何取值时，函数存在零点，并求出零点．解：（1）依题可设()，则；又的图像与直线平行，，（2）由()，得①当时，方程有一解，函数有一零点；②当时，方程有一解,,此时函数有一零点；③当时，方程有二解，若，，函数有两个零点，
6、即；若，，函数有两个零点，即；综上，当时,函数有一零点；当()，或（）时，函数有两个零点；当时，函数有一零点.14.设,讨论函数的单调性．解：函数的定义域为，⑴当时，，在内为增函数；⑵当时，方程的判别式，①若时，，有两个零点：，；且当或时，，在和内为增函数；当时，，在内为减函数；②若时，，无零点但，在内为增函数；③若时，，有两个零点：，，此时在定义域内有唯一零点，∴当时，，在内为增函数；当时，，在内为减函数。15．用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解：设
7、长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为.故长方体的体积为从而令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，∴x=1.当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2m，高为1.5m.答：当长方体的长为2m时，宽为1m，高为1.5m时，体积最大，最大体积为3m3。16．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x（x10）层，则每平
8、方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）。为了
