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《15导数在函数中的应用——极值和最值》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第0216课时导数在函数屮的应用——极值和最值【基础再现】1.已知函数fix)=4x3—x4在x=Xo处取极值，则Xo=.答案：3意图：求函数的极值点lnx2.函数y=~的极人值点为•答案：令_(SQZnz二空=0,兀",当兀池时，『<0；当兀-时，),，〉o,广JT》极大值=/(€)=]，在定义域内只有一个极值点为x=e.e意图：求函数的极大值点3.函数y=<—4x+3在区间[—2,3]上的最小值为•答案：y=4兀'-4,令)/=0,4/-4=0,兀=1,当xvl时,”<0;当兀>1时,">0得y极小值=yL=i=而端点的函数值yx=~i=
2、27』丄=72,得ymin=0意图：复习求最值的基木方法.4.隊
3、数y=x+2cosx在区间[0,刁上的最人值是.答案：—+V36意图：考察有关三角函数极值和最值的问题.5.若函数y=x3+ax2+bx+30在尤=一1和x=3处有极值，贝'Ja+2b=.答案：一15意图：已知极值求变量的值【典型例题】例1.求函数-护+1在区间[—3》上的极值和最值.答案：极人值/(0)=1,极小值./(1)=?最大值1,最小值几一3)=—12.5意图：复习列表求函数的极值和最值例2.两数j[x)=x+ax2+bx+a2在x=l时有极值10,那么a,b的值分别为
4、.解：4,-11f(x)=3/+2ax+b,f(l)=2a+b+3=0J(l)=a2+d+b+l=10〔2a+b=-3[a=-3ftz=42fa，或"L[「当0二一3时，X=1不是极值点”+a+b=9[b=3[b=-]]意图：知道极值求参数，应注意，“导数等于0”只是“此点为极值点"的必要条件，故需检验所求的结果.4例3.若函数心)=启一加+4,当兀=2时，函数血:)有极值一亍(1)求函数的解析式;(2)若函数心)=£冇3个解，求实数k的取值范围.解：fr(x)=3ax2-h,(1)由题意:f,(2)=12a-b=0于(2)=8°-2方+4=
5、一扌解得"1a=—3-b=4所求解析式为y(x)=-x3-4x+4(2)由(1)可得：fx)=x2-4=(x-2X^+2)令广(x)=0,得x=2或兀=_2X(-8,-2)-2(-2,2)2(2,+oo)广(X)+0—0+单调递增/283单调递减43单调递增/当兀变化时，广(兀)、/(x)的变化情况如卜表:OQ因此当x=-2时，/(兀)有极人值竺当x=2时，/(兀)有极小值一土;函数/(x)=1x3_4x+4的图象大致如图:428由图可知：--6、减函数)求参数的取值范围时，应令fx)>0(^fx)<0)恒成立,解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f'(x)恒等于0,若能恒等丁弋，则参数的这个值应舍去,若f'(x)不恒为0,则由fV)>0(w*(x)<0),xe(a,b)恒成立解出的参数的取值范围确定.变式：已知函数J{x)=j^-a^+bx+c的图彖为曲线E.(I)若曲线E」：存在点P,使曲线E在P点处的切线与x轴平行，求M的关系;(II)说明函数几兀)可以在x=—1和兀=3时取得极值，并求此时〃的值；(III)在满足(II)的条件下，f(x)<2c在xW[—2,6]恒成立
7、，求c的取值范围.解：(1)fx)=3x2-2ax+b^切点为POodo)，则曲线=/W在点P的切线的斜率k=广(兀°)=3x02一2处0+/?,由题意知广(兀°)=3x02一2处0+b=0有解，・*.A=4tz2-13/?>0B卩伫3b・(2)若函数f(x)可以在兀=-1和z3时取得极值，贝I」/'(兀)=3”一2ax+b=0有两个解兀=一1和x=3,且满足a?»3b.易得a=3,b=-9.(3)由(2),得/⑴*-3严-9x+c.根据题意,c>X_3午一9兀(兀引一2,6])恒成立.・・•函数g(x)=x3-3x2-9x(兀e[-2,6]
8、)在兀=-1时有极大值5(用求导的方法),且在端点x=6处的值为54.・・・函数g(x)=x3-3x2-9x(xe[-2,6])的最大值为54.所以c>54.【课后强化】1.函数f(x)=x3-3x的极小值为.2.若函数J[x)=x(x—cf在x=2处有极人值，贝IJ常数c的值为..丄3.设Xx)=?-Ix2-2x+5,当xG[-l,2]Rj,恒成立，则实数加的取值范围为4.已知函数/(X)的导数f,(x)=a(x+若.心)在x=a处取到极人值，则a的取值范围是5.函数Ax)=x2-3x+a在闭区间[一3,0]上的最大值3,则。的值是.6.若f
9、ix)=x3+2>ax+3(6f+2)x+1有极大值和极小值，则a的取值范围是7.右图是函数y=J[x)的导函数y=ff(x)的图象，给出下列命题：①
