导数在求值(极值、最值)中应用

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1、学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网www.gaokao.com导数在求值(极值、最值)中的应用　　　一、预备知识　　1．若函数f(x)在闭区间〔a，b〕上连续，根据闭区间连续函数的性质，函数f(x)在闭区间〔a，b〕上必取到最大值与最小值．而最大点或最小点可能在区间端点a或b上；也可能取在开区间(a，b)内部某点上，此时的最大点即为极大点；最小点即为极小点．因此，函数f(x)在闭区间〔a，b〕上连续，在开区间(a，b)内可导，且x1，x2，…，xn是函数f(x)在开区间(a，b)内的所有驻点(隐定点)，

2、则函数值f(a)，f(x1)，f(x2)，…f(xn)，f(b)　　中最小者就是函数f(x)的最小值；最大者就是函数f(x)的最大值．　　2．若函数f(x)在有界开区间(a，b)或无界开区间(a，+∞)(或(－∞，b))上可导，且x1，x2，…，xn是函数f(x)在开区间(a，b)或(a，+∞)(或(－∞，b))的所有驻点(隐定点)，设：　　存在；f(xi)=max{f(x1)，f(x2)，…，f(xn)}，f(xj)=min{f(x1)，f(x2)，…，f(xn)}．　　　　则f(xi)为最大值，　　　　则f(

3、xj)为最小值．　　二、应用例题　　学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网www.gaokao.com学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网www.gaokao.com　　f(x)=(x+b+c)3－(x+b－c)3－(b+c－x)3－(c+x－b)3．　　f′(x)=3〔(x+b+c)2－(x+b－c)2+(b+c－x)2－(c+x－b)2〕=24bc．　　对上式求原函数，有　　f(x)=∫24bcdx=24xbc+c1.　　则c1=f(0)=(b+c)3－(b－c)3－(b+c)3+(b－c)3=

4、0，　　从而f(x)=24xbc或f(a)=24abc．　　　　　　为定值．　　证明设M(x，y)是星形线上任一点，将星形线方程对x求导，得　　过点M的切线l方程为　　令Y=0，则得l在x轴上截距学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网www.gaokao.com学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网www.gaokao.com　　令X=0，则得l在y轴上截距　　于是，二坐标轴所截线段长为　　例3已知p1，p2，…，pn∈N，a1，a2，…，an∈R+，且p1a1+p2a2+…　　　　解不失一般性，令a

5、1=min{a1，a2，…，an}，an=max{a1，a2，…，an}，p=p1+p2+…+pn，则　　将a2，a3，…，an看作常量，a1看作变量，设函数(将a1用x表示)　　学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网www.gaokao.com学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网www.gaokao.com　　则　　　　　　　　　　为所求的最小值．　　　　学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网www.gaokao.com学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网www.gaokao.com

6、　　　　　　　　　　例6从半径为R的圆形铁片中剪去一个扇形(如图)，将剩余部分围成一个圆形漏斗，问剪去的扇形的圆心角多大时，才能使圆锥形漏斗的容积最大？　　解设剪后剩余部分的圆心角是x(θ≤x≤2π)．圆锥形漏斗的斜高是R，圆学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网www.gaokao.com学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网www.gaokao.com　　　　是　　圆锥的底面积S是　　于是，圆锥的体积是　　　　下面求函数V(x)在〔0，2π〕上的最大值．　　学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高

7、考网www.gaokao.com学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网www.gaokao.com　　　　例7测量某个量A，由于仪器的精度和测量的技术等原因，对量A做了n次测量，测量的数值分别为a1，a2，…，an　　取数x作为量A的近似值，问x取何值才能使x与ai(i=1，2，…，n)之差的平方和为最小？　　解由题意，求函数f(x)=(x－a1)2+(x－a2)2+…+(x－an)2　　的最小值．f′(x)=2(x－a1)+2(x－a2)+…+2(x－an)=2〔nx－(a1+a2+…+an)〕　　f″(

8、x)=2n＞0，　　　　值作为量A的近似值，才能使函数f(x)取最小值．　　例8一个容器，下半部是圆柱，上半部是半球，且圆柱底面半径和半球的半径相等，设容器表面积为S，问圆柱的高与底面半径之比为何值时，容器的容积最大．　　解设圆柱的高为h，底面半径为r，则学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网www.gaokao.com学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网w