2021版高中数学必做黄金100题49 数列中的最值问题（解析版）.docx

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1、第49题数列中的最值问题一．题源探究·黄金母题已知等差数列的前项和为，求使得最大的序号的值．【答案】7或8．【解析】由题意知，等差数列的公差为，．∴当或时，取最大值．人教A版必修5P45例4．【母题评析】本题考查等差数列前项和的最值问题，考查考生的分析问题解决问题的能力以及基本计算能力．【思路方法】由等差数列前项和得和，再利用二次函数的相关知识求解．二．考场精彩·真题回放【2020年高考北京】在等差数列中，，．记，则数列A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项【答

2、案】B【解析】由题意可知，等差数列的公差，则其通项公式为：，注意到，且由可知，【命题意图】这类题主要考查数列中项的最值问题、前项和的最值、求满足数列的特定条件的的最值、求满足条件的参数的最值等．【考试方向】这类试题在考查题型上，为选择或填空题，也可以是解答题的一个小题，难度较大．【学科素养】数学运算【难点中心】解答此类问题一般利用函数思想，结合函数与数列相关性质解题．16/16由可知数列不存在最小项，由于，故数列中的正项只有有限项：，.故数列中存在最大项，且最大项为.故选：B．三．理论基础·解题原理考点一等差数

3、列的前n项和与函数的关系等差数列的前n项和公式为可变形为Sn＝n2＋n，令A＝，B＝a1－，则Sn＝An2＋Bn．当A≠0，即d≠0时，Sn是关于n的二次函数，(n，Sn)在二次函数y＝Ax2＋Bx的图象上，为抛物线y＝Ax2＋Bx上一群孤立的点．利用此性质可解决前n项和Sn的最值问题．考点二等差数列前n项和的最值(1)若等差数列的首项，公差，则等差数列是递减数列，正数项有限，前n项和有最大值，且满足．(2)若等差数列的首项，公差，则等差数列是递增数列，负数项有限，前n项和有最小值，且满足．四．题型攻略·深度挖

4、掘16/16【考试方向】这类试题在考查题型上，为选择或填空题，也可以是解答题的一个小题，难度较大．考向1数列中项的最值问题已知数列的通项公式为=，求的最大项．【分析】思路1：利用基本不等式求解．思路2：求满足的的值．【解法一】基本不等式法．==，因为；当且仅当，即n=时，而，且n∈，于是将n=12或13代人，得且最大．【温馨提醒】解法一是是利用基本不等式求解，解法二是通过确定满足的的值，从而找到最大项。考向2数列中前项和的最值问题已知数列是一个等差数列，且，．（Ⅰ）求的通项；（Ⅱ）求前项和的最大值．【温馨提醒】

5、16/16【答案】（1）；（2）的最大值为4．【解析】试题分析：（1）根据等差数列通项公式变形有，则公差，所以，所以通项公式；（2）根据等差数列前项和公式有，配方得，根据二次函数图象及性质可知，当时，前项和取得最大值，最大值为4．等差数列前项和，因此可以看出二次函数或一次函数（时）来求最值，考查数列与函数．等差数列前n项和的最值问题一般有两种方法：（1）求出前n项和，利用二次函数求最值；（2）最大值就是求所有非负项的和，最小值就是求所以非正项的和。考向3求满足数列的特定条件的的最值设数列的前项和为，，且．若，则

6、的最大值为（）A．51B．52C．53D．54【答案】A【解析】若为偶数，则【温馨提醒】本题是道数列的综合题目，考查了数列的求和时的最值问题，需要注意这里的分类讨论，当为偶数、16/16，，，所以这样的偶数不存在若为奇数，则若，则当时成立；若，则当不成立．故选．为奇数时运用等差数列求和，将和的表达式写出来，然后结合题意进行讨论．考向4求满足条件的参数的最值已知为各项均为正数的数列的前项和，．（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，若对恒成立，求实数的最大值．【分析】(1)首先求得的值，然后利用与的关系推出

7、数列为等差数列，由此求得的通项公式；(2)首先结合（1）求得的表达式，然后用裂项法求得，再根据数列的单调性求得的最大值．【解析】(1)当时，由，得，即．又，解得．由，可知【技能方法】(1)求解与参数有关的问题，一般是分离变量，再构造新函数求解．(2)使用裂项法，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项．要注意由于数列中每一项16/16．两式相减，得，即．由于，可得，即，所以是首项为，公差为的等差数列，所以．(2)由，可得．因为，所以，所以数列是递增数列，所以，所以实数的最大值是．均裂成一正一负两项，所以互

8、为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多的，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．考向5有关数列的其它最值问题已知正项数列的前项和为，当时，，且，设，则的最小值是________．【答案】9【解析】当时，，即，展开化为：【技能方法】表示出所求的式子，根据所得式子的特点，根据基本不等式或函数求最值。16/16∵正项数列的前项和为∴数列是等比数列，首项为1