2021版高中数学必做黄金100题47 数列通项公式的求法（解析版）.docx

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1、第47题数列通项公式的求法一．题源探究·黄金母题已知数列的前项的和为，则数列的通项公式为．【答案】【解析】当时，；当时，．综上：【试题来源】人教A版必修5P45练习T2改编．【母题评析】考查数列通项公式的求法．【思路方法】常转化为基本数列（等差数列、等比数列）来求解；或利用与的关系，用作差法求数列的通项公式．二．考场精彩·真题回放【2020年高考山东】已知公比大于的等比数列满足．（1）求的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．【解析】（1）设的公比为．由题设得，．解得（舍去），．由题设得．所

2、以的通项公式为．（2）由题设及（1）知，且当时，．所以【命题意图】这类题主要考查考查数列通项公式的求法，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等．【考试方向】这类试题在考查题型上，若以选择题或填空题的形式出现，则难度中等偏易；也可以为解答题，往往与等差（比）数列、数列求和、不等式等问题综合考查，难度中等．【学科素养】数学运算17/17．【难点中心】公式法求数列的通项公式是最基本的方法，要善于将问题转化为两种基本数列（等差数列、等比数列）来求其通项公式．三．理论基础·解题原理考点一数列的通项公式如

3、果数列的第项和项数之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式．即．不是每一个数列都有通项公式．不是每一个数列只有一个通项公式．四．题型攻略·深度挖掘【考试方向】对数列通项公式的考查，若以选择题或填空题的形式出现，则难度中等偏易；也可以为解答题，往往与等差（比）数列、数列求和、不等式等问题综合考查，难度中等．考向1公式法求数列的通项已知数列满足，，求数列的通项公式．【解析】两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为．【温馨提醒

4、】本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出17/17，进而求出数列的通项公式．考向2累加法求数列的通项已知数列满足，求数列的通项公式．【解析】由得则所以数列的通项公式为．【温馨提醒】本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式．考向3累乘法求数列的通项定义数列如下：，，当时，有．定义数列如下：，，当时，有，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，两边同除，可得，即【温馨提醒】17/17，则数列构成首项为，公差为的等差数列，所以，所以同理可

5、得，则数列构成首项为，公差为的等差数列，所以，可得，所以，故选D．本题主要考查了数列的递推公式和等差数列的通项、累乘法求解数列的通项公式等知识点的应用，试题有一定的难度，属于中档试题，在利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形，运算问题时，要注意采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．考向4待定系数法求数列的通项已知数列满足，求数列的通项公式．【解析】设④将代入④式，

6、得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得⑤由及⑤式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故【技能方法】本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列17/17．的通项公式，最后再求出数列的通项公式．考向5对数变换法求数列的通项已知数列满足，，求数列的通项公式．【解析】因为，所以．在式两边取常用对数得①设②将①式代入②式，得，两边消去并整理，得，则，故代入式，得③由及③式，得，则，所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则【技能方法】本题解题的关键是通过对数变换把递

7、推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式．17/17，因此则．考向6迭代法求数列的通项已知数列满足，求数列的通项公式．【解析】，又，所以数列的通项公式为．【技能方法】本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式．即先将等式两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知，从而．17/17考向7换元法求数列的通项已知数列满足，求数列的通项公式．【解析】令，则，故，代入得，即．因为，故，则，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得．【技能方法】本

8、题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式．考向8不动点法求数列的通项已知数列满足，求数列的通项公式．【解析】令，得，则是函数的两个不动点．因为【技能方法】本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出17/17．所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则．，从而可知数列为等比数列，再求出数列