数列通项公式求法

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1、高考数学专题讲座(44)数列通项公式的求法嵩明县第一中学吴学伟各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式.解：设数列公差为∵成等比数列，∴，即∵，∴………………………………①∵∴…………②由①②得：，∴点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出

2、首项与公差（公比）后再写出通项。二、公式法若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解。例2．已知数列的前项和满足．求数列的通项公式。解：由当时，有……，嵩明县第一中学吴学伟13577103702第20页共20页高考数学专题讲座经验证也满足上式，所以点评：利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并．三、由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。类型1递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。(2004全国卷I.22)已知

3、数列中,,其中……，求数列的通项公式。P24（styyj）例3.已知数列满足，，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以嵩明县第一中学吴学伟13577103702第20页共20页高考数学专题讲座，类型2（1）递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。(2004全国卷I.15)已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项P24（styyj）例4.已知数列满足，，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，（2）．由和确定的递推数列的通项可如下求得：由已知递推

4、式有，，，依次向前代入，得，简记为，这就是叠（迭）代法的基本模式。嵩明县第一中学吴学伟13577103702第20页共20页高考数学专题讲座（3）递推式：解法：只需构造数列，消去带来的差异．例5．设数列：，求.解：设，将代入递推式，得…（１）则,又，故代入（１）得说明：（1）若为的二次式，则可设;(2)本题也可由,（）两式相减得转化为求之.嵩明县第一中学吴学伟13577103702第20页共20页高考数学专题讲座例6．已知，，求。解：。类型3递推公式为（其中p，q均为常数，）。解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。(2006.重庆.14）在数列

5、中，若，则该数列的通项P24（styyj）例7.已知数列中，，，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.类型4递推公式为（其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q,r均为常数）嵩明县第一中学吴学伟13577103702第20页共20页高考数学专题讲座（2006全国I.22）（本小题满分12分）设数列的前项的和，（Ⅰ）求首项与通项；P25（styyj）解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再应用类型3的方法解决。例8.已知数列中，,，求。解：在两边乘以

6、得：令，则,应用例7解法得：所以类型5递推公式为（其中p，q均为常数）。解法：先把原递推公式转化为其中s，t满足，再应用前面类型3的方法求解。（2006.福建.理.22）（本小题满分14分）已知数列满足（I）求数列的通项公式；P26（styyj）例9.已知数列中，,,，求。嵩明县第一中学吴学伟13577103702第20页共20页高考数学专题讲座解：由可转化为即或这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即又，所以。类型6递推公式为与的关系式。(或)解法：利用进行求解。(2006.

7、陕西.20)(本小题满分12分)已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项anP24（styyj）例10.已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.解：（1）由得：嵩明县第一中学吴学伟13577103702第20页共20页高考数学专题讲座于是所以.（2）应用类型4的方法，上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以类型7双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例11.已知数