高考专题第47题 数列通项公式的求法-2019精品之高中数学（理）黄金100题---精校解析 Word版

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1、第47题数列通项公式的求法I．题源探究·黄金母题【例1】已知数列满足．求数列的通项公式；【解析】是以为首项，2为公比的等比数列．即【例2】已知数列的前项的和为，则数列的通项公式为．【答案】【解析】当时，；当时，．综上：精彩解读【试题来源】例1：人教A版必修5P33A组T4改编；例2：人教A版必修5P45练习T2改编．【母题评析】例1、例2考查数列通项公式的求法．【思路方法】常转化为基本数列（等差数列、等比数列）来求解；或利用与的关系，用作差法求数列的通项公式．II．考场精彩·真题回放【例3】【2017高考天

2、津理18】已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．【答案】（1）．；（2）．【解析】试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前【命题意图】这类题主要考查考查数列通项公式的求法，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等．【考试方向】项和公式列方程求出等差数列首项和公差及等比数列的公比，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确．试题解析：（I）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．由已

3、知，得，而，所以．又因为，解得．所以，．由，可得①．由，可得②，联立①②，解得，，由此可得．所以数列的通项公式为，数列的通项公式为．（II）解：设数列的前项和为，由，，有，故，，上述两式相减，得得．所以数列的前项和为．这类试题在考查题型上，若以选择题或填空题的形式出现，则难度中等偏易；也可以为解答题，往往与等差（比）数列、数列求和、不等式等问题综合考查，难度中等．【难点中心】公式法求数列的通项公式是最基本的方法，要善于将问题转化为两种基本数列（等差数列、等比数列）来求其通项公式．III．理论基础·解题原理如

4、果数列的第项和项数之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式．即．不是每一个数列都有通项公式．不是每一个数列只有一个通项公式．IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】对数列通项公式的考查，若以选择题或填空题的形式出现，则难度中等偏易；也可以为解答题，往往与等差（比）数列、数列求和、不等式等问题综合考查，难度中等．【技能方法】数列的通项的常见求法：1．公式法：若在已知数列中存在：的关系，可采用求等差数列、等比数列的通项公式的求法，确定数列的通项；若在已知数列中存在：的关系，可以利用项和公

5、式，求数列的通项．2．累加法：若在已知数列中相邻两项存在：的关系，可用“累加法”求通项．3．累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：的关系，可用“累乘法”求通项．4．构造法：根据已知式的结构特征，构造等差数列（等比数列）求解．5．归纳法：先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据与项数的关系，猜想数列的通项公式，最后再证明．V．举一反三·触类旁通考向1公式法求数列的通项使用情景：已知数列是等差数列或等比数列或已知．解题步骤：已知数列是等差数列或等比数列，先求出等差（比）数列的基本量，再代入等差（比）数

6、列的通项公式；已知的关系，可以利用项和公式，求数列的通项．【例1】已知数列满足，，求数列的通项公式．【名师点睛】本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式．【例2】已知数列，是其前项的和，且满足，对一切都有成立，设．（1）求；（2）求证：数列是等比数列；（3）求使成立的最小正整数的值．【点评】利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项．【例3】数列{}的前n项和为，=1，(n∈)，求{}的通项公式．【点

7、评】（1）已知，一般利用和差法．如果已知也可以采用和差法．（2）利用此法求数列的通项时，一定要注意检验是否满足，能并则并，不并则分．【跟踪练习】1．已知等比数列{}中，，公比，又分别是某等差数列的第项，第项，第项．(1)求；(2)设，求数列的前项和．【答案】（1）；(2)=．【解析】（1）由已知有，2．已知数列{}的前n项和()，求{}的通项公式．【答案】【解析】由()①，得．3．已知函数，是数列的前项和，点（）在曲线上．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，，且是数列的前项和．试问是否存在最大值？若存在，请求

8、出的最大值；若不存在，请说明理由．（Ⅱ）因为①所以②③②－③得．整理得，④方法一利用差值比较法由④式得，所以因为，所以．又，所以所以，所以．所以Tn存在最大值方法三利用放缩法由①式得，又因为是数列的前项和，所以．所以，所以存在最大值．考向2累加法求数列的通项使用情景：在已知数列中相邻两项存在：的关系；解题步骤：先给递推式中的从2开始赋值，一直到，一共得到个式子，再把这个式子左右两边对应相加化简，即得到数列的通项．