高考专题第51题 新信息背景下的数列问题-2018精品之高中数学（理）黄金100题---精校解析Word版

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1、第51题新信息背景下的数列问题I．题源探究·黄金母题【例1】习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．下图是求大衍数列前项和的程序框图．执行该程序框图，输入，则输出的（）A．100B．140C．190D．250【答案】C【解析】由题意得，当输入时，程序的功能是计算并输出，计算可得，故选C．精彩解读【试题来源】2018福建厦门

2、高三上学期期末质检．【母题评析】本题考查数学文化、线性规划，考查考生的阅读理解能力、识别框图以及基本计算能力．【思路方法】读懂题意、识别框图即为计算数列的前十项和，根据和式的结构特征，用分组求和法得结果．II．考场精彩·真题回放【例2】【2017高考新课标2理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【答案】

3、B【命题意图】这类试题在新的背景（情境）下考查数量的基本问题、如通项、前项和、与数列有关最值以及恒成立问题、与数列有关的不等式等．这类试【解析】设塔的顶层共有灯盏，则各层的灯数构成一个首项为，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有：，解得，即塔的顶层共有灯3盏，故选B．【例3】【2017高考新课标1理12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4

4、，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．110【答案】A【解析】试题分析：由题意得，数列如下：则该数列的前项和为要使，有，此时，所以是之后的等比数列的部分和，即，所以，则，此时，对应满足的最小条件为，故选A．【例4】【2017高考北京理20】设和是两个等差数列，记，其中表示这个数中最大的数．题能较好的考

5、查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等．【考试方向】这类试题在考查题型上，既可以是选择题、填空题，也可是解答题，由于背景新颖，因此难度都较大．【难点中心】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求．但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝．对于这类问题，关键是

6、根据相关信息，合理建立数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，回到实际问题中进行检验，最终得出结论．（Ⅰ）若，，求的值，并证明是等差数列；（Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）分别代入求，观察规律，再证明当时，，所以关于单调递减．所以，即证明；（Ⅱ）首先

7、求的通项公式，分三种情况讨论证明．试题解析：解：（Ⅰ），．当时，，所以关于单调递减．所以．所以对任意，于是，所以是等差数列．（Ⅱ）设数列和的公差分别为，则．所以①当时，取正整数，则当时，，因此．此时，是等差数列．②当时，对任意，此时，是等差数列．③当时，当时，有．所以对任意正数，取正整数，故当时，．【例5】【2017高考江苏19】对于给定的正整数，若数列满足对任意正整数总成立，则称数列是“数列”．（1）证明：等差数列是“数列”；（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列．【答案】（1）见解析；（

8、2）见解析．【解析】（1）证明：为等差数列，设其公差为，则，从而，当时，，，因此等差数列是“数列”。（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此当时，①当时，②由①知，③④将③④代入②，得，其中是等差数列，设其公差为．在①中，取，则；在①中，取，则，∴数列是等差数列．III．理论基础·解题原理含“新信息”背景的数列问题，以其难度通常位于试卷的最后一题．此类问题有以下几个难点：一是对于新的概念与规则，学