高考专题第50题 数列中探索性问题-2018精品之高中数学（文）黄金100题---精校解析Word版

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1、第50题数列中探索性问题I．题源探究·黄金母题【例1】已知是等比数列的前项和，，，成等差数列，且．（I）求数列的通项公式；（II）是否存在正整数，使得?若存在，求出符合条件的所有的集合；若不存在，说明理由．【解析】（I）设数列的公比为，则，．由题意得即解得故数列的通项公式为．（II）由（I）有．若存在，使得，则，即当为偶数时，，上式不成立；当为奇数时，，即，则．综上存在符合条件的正整数，且所有这样的的集合为．精彩解读【试题来源】人教A版必修5P68B组T1改编．【母题评析】本题主要考查等比数列的通项公式、数列中的存在型问题，考查考生的分析问题解决问题的能力以及基本计算能力．【思

2、路方法】应用方程思想列方程组求基本量，进而的数列的通项公式；由题意列出方程组（或不等式组）解决存在型问题．II．考场精彩·真题回放【例2】【2017高考北京20】设和是两个等差数列，记，其中表示这个数中最大的数．（Ⅰ）若，，求的值，并证明是等差数列；（Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．【命题意图】这类题以数列为载体考查探索性综合问题，这类问题不仅考查学生的分析问题解决问题的能力，以及探索能力，而且给学生提供了创新思维的空间．【考试方向】【解析】试题分析：（Ⅰ）分别代入求，观察规律，再证明当时，，

3、所以关于单调递减．所以，即证明；（Ⅱ）首先求的通项公式，分三种情况讨论证明．试题解析：解：（Ⅰ），．当时，，所以关于单调递减．所以．所以对任意，于是，所以是等差数列．（Ⅱ）设数列和的公差分别为，则．所以①当时，取正整数，则当时，，因此．此时，是等差数列．②当时，对任意，此时，是等差数列．这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度较大．【难点中心】解决数列与函数、不等式的综合问题的关键是从题设中提炼出数列的基本条件，综合函数与不等式的知识求解；数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点．与数列有关的探索问题：

4、第一步：假设符合条件的结论存在；第二步：从假设出发，利用题中关系求解；第三步，确定符合要求的结论存在或不存在；第四步：给出明确结果；第五步：反思回顾，查看关键点．③当时，当时，有．所以对任意正数，取正整数，故当时，．【考点】1．新定义；2．数列的综合应用；3．推理与证明．【名师点睛】近年北京卷理科压轴题一直为新信息题，本题考查学生对新定义的理解能力和使用能力，本题属于偏难问题，反映出学生对于新的信息的的理解和接受能力，本题考查数列的有关知识及归纳法证明方法，即考查了数列（分段形函数）求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高

5、难题，特别是第二两步难度较大，适合选拔优秀学生．【例3】【2017高考江苏19改编】对于给定的正整数，若数列满足对任意正整数总成立，则称数列是“数列”．（1）证明：等差数列是“数列”；（2）是否存在数列，它既是“数列”，又是“数列”？若存在给出证明；若不存在说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）证明：为等差数列，设其公差为，则，从而，当时，，，因此等差数列是“数列”．（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此当时，①当时，②由①知，③④将③④代入②，得，其中是等差数列，设其公差为．在①中，取，则；在①中，取，则，∴数列是等差数列．【例4】【2016高考上海

6、数】若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质．（1）若具有性质，且，，求；（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判断是否具有性质，并说明理由；（3）设是无穷数列，已知．求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”．【答案】（1）．（2）不具有性质．（3）见解析．【解析】（1）因为，所以，，．于是，又因为，解得．（3）[证]充分性：当为常数列时，．对任意给定的，只要，则由，必有．充分性得证．必要性：用反证法证明．假设不是常数列，则存在，使得，而．下面证明存在满足的，使得，但．设，取，使得，则，，故存在使得．取，因为（），所以，依此类推，得．但，即．

7、所以不具有性质，矛盾．必要性得证．综上，“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”．III．理论基础·解题原理近几年的高考试卷中经常出现以数列为载体的探索性问题，这类问题不仅考查学生的探索能力，而且给学生提供了创新思维的空间，而这类问题有下列三类题型：规律探索性问题；条件探索性问题；结论探索性问题．IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，主要以解答题的形式出现，难度较大．【技能方法】处理探索性问题的一般方法是：假设题中的数学对象存在或结论成立或其中的一部分结论成立，然后