高考专题第47题 数列通项公式的求法-2019精品之高中数学（文）黄金100题---精校解析 Word版

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1、第47题数列通项公式的求法I．题源探究·黄金母题【例1】已知数列满足．求数列的通项公式；【解析】是以为首项，2为公比的等比数列．即【例2】已知数列的前项的和为，则数列的通项公式为．【答案】【解析】当时，；当时，．综上：精彩解读【试题来源】例1：人教A版必修5P33A组T4改编；例2：人教A版必修5P45练习T2改编．【母题评析】例1、例2考查数列通项公式的求法．【思路方法】常转化为基本数列（等差数列、等比数列）来求解；或利用与的关系，用作差法求数列的通项公式．II．考场精彩·真题回放【例3】【2017高考新课标1文17】记Sn为等

2、比数列的前n项和，已知S2=2，S3=-6．（1）求的通项公式；（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．【答案】（1）；（2），证明见解析．【解析】试题分析：（1）由等比数列通项公式解得，；（2）利用等差中项证明Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列．【命题意图】这类题主要考查考查数列通项公式的求法，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等．【考试方向】试题解析：（1）设的公比为．由题设可得，解得，．故的通项公式为．（2）由（1）可得．由于，故，，成等差数列．【例4】【2017高考新课标2文17】已知

3、等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，(1)若，求的通项公式；（2）若，求．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，．当时，．【解析】试题分析：（1）根据等差数列及等比数列通项公式，表示条件，得关于公差与公比的方程组，解方程组得公比，代入等比数列通项公式即可，（2）由等比数列前三项的和求公比，分类讨论，求公差，再根据等差前三项求和．试题解析：（1）设的公差为d，的公比为q，则．由得d+q=3①由得②联立①和②解得（舍去），因此的通项公式由得．解得当时，由①得，则．当时，由①得，则．【例5】【2017高考新课标3文17】设数列满足这类试题在考

4、查题型上，若以选择题或填空题的形式出现，则难度中等偏易；也可以为解答题，往往与等差（比）数列、数列求和、不等式等问题综合考查，难度中等．【难点中心】公式法求数列的通项公式是最基本的方法，要善于将问题转化为两种基本数列（等差数列、等比数列）来求其通项公式．．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）先由题意得时，，再作差得，验证时也满足（2）由于，所以利用裂项相消法求和．试题解析：（1）∵，①∴时，②①-②得，，，又时，适合上式，∴．（2）由（1），III．理论基础·解题原理如果数列的

5、第项和项数之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式．即．不是每一个数列都有通项公式．不是每一个数列只有一个通项公式．IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】对数列通项公式的考查，若以选择题或填空题的形式出现，则难度中等偏易；也可以为解答题，往往与等差（比）数列、数列求和、不等式等问题综合考查，难度中等．【技能方法】数列的通项的常见求法：1．公式法：若在已知数列中存在：的关系，可采用求等差数列、等比数列的通项公式的求法，确定数列的通项；若在已知数列中存在：的关系，可以利用项和公式，求数列的通项．2．累加法：若

6、在已知数列中相邻两项存在：的关系，可用“累加法”求通项．3．累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：的关系，可用“累乘法”求通项．4．构造法：根据已知式的结构特征，构造等差数列（等比数列）求解．5．归纳法：先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据与项数的关系，猜想数列的通项公式，最后再证明．V．举一反三·触类旁通考向1公式法求数列的通项使用情景：已知数列是等差数列或等比数列或已知．解题步骤：已知数列是等差数列或等比数列，先求出等差（比）数列的基本量，再代入等差（比）数列的通项公式；已知的关系，可以利用项和公式，求数列的通项

7、．【例1】已知数列满足，，求数列的通项公式．【名师点睛】本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式．【例2】已知数列，是其前项的和，且满足，对一切都有成立，设．（1）求；（2）求证：数列是等比数列；（3）求使成立的最小正整数的值．【点评】利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项．【例3】数列{}的前n项和为，=1，(n∈)，求{}的通项公式．【点评】（1）已知，一般利用和差法．如果已知也可以采用和差法．（2）利用此法求数列的

8、通项时，一定要注意检验是否满足，能并则并，不并则分．【跟踪练习】1．已知等比数列{}中，，公比，又分别是某等差数列的第项，第项，第项．(1)求；(2)设，求数列的前项和．【答案】（1）；(2)=．【解析】（1）由已知有，2．已知数列{}的前n项和(