高考专题第57题 线性规划问题-2019精品之高中数学（文）黄金100题---精校解析 Word版

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1、第57题线性规划问题I．题源探究·黄金母题【例1】营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供kg的碳水化合物，kg的蛋白质，kg的脂肪．1kg食物A含有kg碳水化合物，kg蛋白质，g脂肪，花费28元；而1kg食物B含有kg碳水化合物，kg蛋白质，kg脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？【解析】设每天食用kg实物A，kg实物B，总成本为元，则①目标函数为二元一次不等式组①等价于②作出二元一次不等式组②所表示的平面区域（如图），即可行域

2、．考虑，将它变形为，这是斜率为，随变化的一族平行直线．是直线在轴上的截距，当取得最小值时，的值最小．当然直线与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数取得最小值．由图可见，当直线经过可行域上的点时，截距最小，即精彩解读【试题来源】人教版A版必5P88例5．【母题评析】本题考查线性规划问题，作为基础题，是历年来高考的一个常考点．【思路方法】解决此类问题的关键是通过线性约束条件，准确作出可行域，再根据目标函数的几何意义解题．最小．解方程组得点，因此，当时，取最小值，最小值为16．由此可知每天食用食物A约143

3、克，食物B约571克，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元．II．考场精彩·真题回放【例1】【2017高考浙江4】若满足约束条件，则的取值范围是（）A．[0，6]B．[0，4]C．[6，D．[4，【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点时取最小值4，无最大值，选D．【例2】【2017高考新课标1文7】设满足约束条件则的最大值为（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】如图，目标函数经过时最大，故，故选D．【命题意图】这类题考查简单的线性规划问题．【考试方向】这类试题在

4、考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，为基础题．【难点中心】1．利用图解法解决线性规划问题的一般步骤——一画二移三求：(1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；(2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)；(3)求出最终结果．2．常见的目标函数有：（1）截距型：形如．求这类目标函数的最值常将函数转化为直线的斜截式：【例3】【2017高考北京文4】若满足则的最大值为（）A．1B．3C．5D．9【答案】D【解析】

5、如图，画出可行域，表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D．【例4】【2017高考天津文16】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长（分钟）广告播放时长（分钟）收视人次（万）甲70560，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如；（3）斜率型：形如，而本题属于截距形式；（4）绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离．乙60525已知电视台每周安排的甲

6、、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用，表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．（I）用，列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？【答案】(Ⅰ)见解析（Ⅱ）电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．【解析】试题分析：（Ⅰ）设根据甲乙连续剧总的播放时间不多于600分钟，得到，根据广告时间不少于30分钟，得到，和，

7、同时注意次数，需满足的条件，建立不等式组，画区域；（Ⅱ）求的最值，同时注意是整数解．试题解析：（Ⅰ）由已知，满足的数学关系式为即该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：（Ⅱ）设总收视人次为万，则目标函数为．考虑，将它变形为，这是斜率为，随变化的一族平行直线．为直线在轴上的截距，当取得最大值时，的值最大．又因为满足约束条件，所以由图2可知，当直线经过可行域上的点M时，截距最大，即最大．解方程组得点M的坐标为．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．III．理论基

8、础·解题原理1．二元一次不等式的几何意义：二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧的所有点的平面区域．对于在直线同一侧的所有点，实数的符号相同，故只需在此直线的某一侧取一个特殊点，由实数的符号，即可判断表示直线哪一侧的平面区域．2．线性规划的有关概念：（1）线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量的约束条件，这组约束条件都是关于的一次不等式，故又称线性约束条件．（2）线性目标函数：关于的一次式是欲达到最大值或最小值所涉及的变量的