2021版高中数学必做黄金100题43平面向量中的范围、最值问题（解析版）.docx

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1、第43题平面向量中的范围、最值问题一．题源探究·黄金母题给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为．点C在以O为圆心的圆弧上变动，若，其中，则的范围是________．【解析】由，又，∴，得，而点C在以O为圆心的圆弧上变动，得，于是．【试题来源】人教A版必修4P102习题2.3B组T4改编．【母题评析】本题考查平面向量基本定理、平面向量系数的取值范围、重要不等式，考查考生的分析问题解决问题的能力．【思路方法】平面向量中涉及系数的范围问题时要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系，通过列不等式或等式得系数的不等式，从而求系数的取值范围．二．考场精彩·真题回放【

2、2020年新高考全国Ⅰ卷】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，【命题意图】这类题主要考查平面向量数量积或模或夹角或系数的取值范围、最值问题，考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等．【学科素养】数学运算、直观想象的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，故选：A．【难点中心】平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种

3、思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．三．理论基础·解题原理考点一平面向量中的范围、最值问题平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同

4、时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．考点二三角不等式：；．四．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等．考向1平面向量数量积的范围、最值问题如图，半径为1的扇形中，，是弧上的一点，且满足，分别是线段上的动点，则的最大值为（）A．B．C．1D．【答案】C【解析】∵扇形的半径为1，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故选C．【温馨提醒】数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即=；(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝

5、(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2；（3）运用平面向量基本定理，将数量积的两个向量用基底表示后，再运算．考向2平面向量模的取值范围、最值问题【2020年高考天津】如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．【答案】(1).；(2).【解析】，，，，解得，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，,【温馨提醒】向量的模可以利用坐标表示，也可以借助“形”，向量的模指的是有向线段的长度，过可结合平面几何知识求解，尤其注意，如果直接求模不易，可以将向量用

6、基底向量表示再求．∵，∴的坐标为,∵又∵,则，设，则（其中），，，，所以，当时，取得最小值.故答案为：；.考向3平面向量夹角的取值范围、最值问题已知向量与的夹角为，时取得最小值，当时，夹角的取值范围为（）A．B．C．D．【温馨提醒】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解．考向4平面向量系数的取值范围、最值问题已知是的重心，过点作直线与，交于点，且，，，则的最小值是()A．B．C．D．【答案】D【解析】如图三点共线，∵是的重心，解得，结合图象可知令故故，当且仅当【技能方法】平面向量中涉及

7、系数的范围问题时，要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系，通过列不等式或等式得系数的不等式，从而求系数的取值范围．等号成立，故选D．五．限时训练*提升素养1.【2020年高考浙江】已知平面单位向量，满足．设，，向量，的夹角为，则的最小值是_______．【答案】【解析】，，，.故答案为：.2.【2020湖北省高三零模】已知向量，满足，在上投影为，则的最小值为A．B．C．D．【答案】B【解析】在上投影为，即.，，又，，，.本题选B．3.（2020·湖南郴州）已知是边长为3的正方形内（包含边界）的一点，则的最大值是（）A．6B．3C．9D．8【答案】C【解析】

8、以点为原点建立如图所示的直角坐标系，设