高考专题平面向量中的范围、最值问题-精品之高中数学（文）黄金100题--- 精校解析Word版

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1、第43题平面向量中的范围、最值问题I．题源探究·黄金母题【例1】给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为．点C在以O为圆心的圆弧上变动，若，其中，则的范围是________．【解析】由，又，∴，得，而点C在以O为圆心的圆弧上变动，得，于是．精彩解读【试题来源】人教A版必修4P102习题2.3B组T4改编．【母题评析】本题考查平面向量基本定理、平面向量系数的取值范围、重要不等式，考查考生的分析问题解决问题的能力．【思路方法】平面向量中涉及系数的范围问题时要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系，通

2、过列不等式或等式得系数的不等式，从而求系数的取值范围．II．考场精彩·真题回放【例2】【2017高考北京文12】已知点P在圆上，点A的坐标为(-2，0)，O为原点，则的最大值为_________．【答案】6【解析】所以最大值是6．【例3】【2017高考浙江14】已知向量a，b满足则的最小值是________，最大值是_______．【答案】4，【解析】设向量的夹角为，由余弦定理有：，，则：【命题意图】这类题主要考查平面向量数量积或模或夹角或系数的取值范围、最值问题，考查考生分析问题解决问题的能力、基

3、本计算能力等．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等．【难点中心】平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；，令，则，据此可得：，即的最小值是4，最大值是．②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．III．理论基础·解题原理（1）平面向量中的范

4、围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．（2）三角不等式：；．IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等．【技能方法】向量中的最值、范围问题，实质是给我们过去熟悉

5、的函数的最值、值域问题戴上了一层面纱，却往往让我们找不到问题的切入点，这类问题的解决关键是揭开面纱，转化为函数、不等式或解析几何处理，发现“庐山真面目”．求数量积的最值，一般要先利用向量的线性运算，尽可能将所求向量转化为长度和夹角已知的向量，利用向量的数量积运算建立目标函数，利用函数知识求解最值．【易错指导】（1）在运算时需注意向量数量积运算不满足交换律和消去律，防止出错．（2）两个向量夹角的范围是，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯

6、就是其数量积小于零，还要求不能反向共线．V．举一反三·触类旁通考向1平面向量数量积的范围、最值问题已知两个非零向量和，它们的夹角为，把数量叫做和的数量积(或内积)，记作．即=，规定，数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即=；(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2；（3）运用平面向量基本定理，将数量积的两个向量用基底表示后，再运算．【例1】【2018华南师范大学附属中学高三综合测试】如

7、图，半径为1的扇形中，，是弧上的一点，且满足，分别是线段上的动点，则的最大值为（）A．B．C．1D．【答案】C【例2】在边长为2的等边三角形中，是的中点，为线段上一动点，则的取值范围为．【分析】利用向量的加法或减法法则，将向量分别表示，结合已知条件设

8、

9、（），将用变量表示，进而转化为二次函数的值域问题．【名师点睛】将用某个变量表示，转化为函数的值域问题，其中选择变量要有可操作性．【例3】【2018江苏省泰州中学高三12月月考】在矩形中，，，若，分别在边，上运动（包括端点，且满足，则的取值范围是___

10、_______．【答案】[1，9]【跟踪练习】1．【2018贵州贵阳花溪清华中学高三月考】已知圆的方程，是椭圆上一点，过作圆的两条切线，切点为，，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，设，设，由又的取值范围为，故选C．2．如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在轴，轴正半轴上移动，则的最大值是．【答案】23．【2018江苏南京市盐城高三一模考】在中，已知，，则的最大值为．【答案】【解析】，由余弦定理得：，所以，当且仅当时取等号．4．【2018