高考专题平面向量中的范围、最值问题-精品之高中数学（理）黄金100题--- 精校解析Word版

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1、第43题平面向量中的范围、最值问题I．题源探究·黄金母题【例1】给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为．点C在以O为圆心的圆弧上变动，若，其中，则的范围是________．【解析】由，又，∴，得，而点C在以O为圆心的圆弧上变动，得，于是．精彩解读【试题来源】人教A版必修4P102习题2.3B组T4改编．【母题评析】本题考查平面向量基本定理、平面向量系数的取值范围、重要不等式，考查考生的分析问题解决问题的能力．【思路方法】平面向量中涉及系数的范围问题时要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系，通过列不等式或等式得系数的不等式，从而求系数的取值范围．II

2、．考场精彩·真题回放【例2】【2017高考新课标2理12】已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解法一（几何法）：如图所示，（为中点），则，要使最小，则，方向相反，即点在线段上，则，即求最大值，又，则，则．故选B．【命题意图】这类题主要考查平面向量数量积或模或夹角或系数的取值范围、最值问题，考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等．【难点中心】平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量

3、的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；解法二（解析法）：如图，以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，则，，，设，所以，，，所以，，当时，所求的最小值为，故选B．【例3】【2017高考新课标3理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=+，则+的最大值为（）A．3B．2C．D．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系．设，②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不

4、等式、方程的有关知识来解决．根据等面积公式可得圆的半径，即圆C的方程是，，若满足，即，，所以，设，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A．【例3】【2017高考浙江14】已知向量a，b满足则的最小值是________，最大值是_______．【答案】4，【解析】设向量的夹角为，由余弦定理有：，，则：，令，则，据此可得：，即的最小值是4，最大值是．III．理论基础·解题原理（1）平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、

5、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．（2）三角不等式：；．IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等．【技能方法】向量中的最值、范围问题，实质是给我们过去熟悉的函数的最值、值域问题戴上了一层面纱，却往往让我们找不到问题的切入点，这类问题的解决关键是揭开面纱，转化为函数、不等式或解析几何处理，发现“庐山真面目”．求数量积的最值，一般要先

6、利用向量的线性运算，尽可能将所求向量转化为长度和夹角已知的向量，利用向量的数量积运算建立目标函数，利用函数知识求解最值．【易错指导】（1）在运算时需注意向量数量积运算不满足交换律和消去律，防止出错．（2）两个向量夹角的范围是，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线．V．举一反三·触类旁通考向1平面向量数量积的范围、最值问题已知两个非零向量和，它们的夹角为，把数量叫做和的数量积(或内积)，记作．即=，规定，数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角

7、时，可利用定义法求解，即=；(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2；（3）运用平面向量基本定理，将数量积的两个向量用基底表示后，再运算．【例1】【2018华南师范大学附属中学高三综合测试】如图，半径为1的扇形中，，是弧上的一点，且满足，分别是线段上的动点，则的最大值为（）A．B．C．1D．【答案】C【例2】在边长为2的等边三角形中，是的中点，为线段上一动点，则的取值范围为．【分析】利用向量的加法或减法法则，将向量分别表示，结合已知条件设

8、

9、（），将用变量表示，进而转化为二次函数的

10、值域问题．【名师点睛】将用某个变量表示，转化为函数的值域问题，其中