高考专题函数的最值与值域-高中数学（理）黄金100题--- 精校解析Word版

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1、第10题函数的最值与值域I．题源探究·黄金母题【例1】已知函数，求函数的最大值和最小值．【答案】【解析】设是上的任意两个实数，且，则由，得，所以，即，故在区间上是增函数．因此，函数在区间的左端点处取得最小值，右端点处取得最大值，即最小值是，最大值是．精彩解读【试题来源】人教版A版必修一第31页例4改编【母题评析】本题利用对函数的单调性的判断或证明，进而利用函数的单调性求出函数在某一闭区间上的最大值和最小值．本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式．【思路方法】利用函数的单调性的定义或借助函数的图象判断函数的单调性，借助函数的单调性研究函数的极值与最值或比较大小或解不等式等．II

2、．考场精彩·真题回放【例1】【2017浙江卷5】若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M–mA．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关【答案】B【解析】因为最值在【命题意图】本类题通常主要考查一些常见函数最值（值域）的求解，类型多，解法灵活．【考试方向】这类试题在考查题型上，中取，所以最值之差一定与无关，选B．【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上，且对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间

3、的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．【例2】【2017浙江卷17】已知αR，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________．【答案】【解析】，分类讨论：①当时，，函数的最大值，舍去；②当时，，此时命题成立；③当时，，则：或：，解得：或综上可得，实数的取值范围是．【考点】基本不等式、函数最值【名师点睛】本题利用基本不等式，由，通过对解析式中绝对值号的处理，进行有效的分类讨论：①当；②；③，问题的难点最要在于对分界点的确认及讨论上，属难题．解题时，应仔细对各个情况进行

4、逐一讨论．【例3】【2017北京卷】已知，，且x+y=1，则可以选择题或填空题，也可以是解答题，难度可以是容易题、中档题，也可以是压轴题，往往与函数的奇偶性、周期有联系以及导数、恒成立等交汇．【难点中心】求函数最值（值域）通性通法：（1）观察法；（2）利用常见函数的最值（值域）；（3）分离常数法；（4）单调性法；（5）换元法；（6）配方法；（7）基本不等式法；（8）判别式法；（9）有界性法；（10）图象法；（11）导数法．的取值范围是__________．【答案】【解析】，所以当时，取最大值1；当时，取最小值；因此取值范围为【考点】二次函数【名师点睛】本题考查了转化与化归的能力，除了

5、象本题的方法，转化为二次函数求取值范围，也可以转化为几何关系求取值范围，当，表示线段，那么的几何意义就是线段上的点到原点距离的平方，这样会更加简单．III．理论基础·解题原理一、函数的最值的基本概念设函数的定义域为，如果存在实数满足：(1)对于任意，都有；(2)存在，使得，则为函数的最大值．(1)对于任意，都有；(2)存在，使得，则为函数的最小值．二、函数最值的有关结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)．IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，可以选择题或填

6、空题，也可以是解答题，难度可以是容易题、中档题，也可以是压轴题，往往与函数的奇偶性、周期有联系以及导数、恒成立等交汇．【技能方法】解决此类问题一般要把先求函数的定义域，在定义域内研究函数的单调性．研究函数的单调性时，可灵活采用定义法、复合法、图象法、导数法，了解函数再定义域内的区间上的单调性，在此基础上再借助函数的奇偶性、周期性、特殊值等，模拟画出函数的图象，最后利用数形结合思想，达到求最值、比较大小、解不等式的目的．【易错指导】（1）灵活选择最优方法求函数值域（最值）；（2）求函数的值域不但要重视对应法则的作用而且要特别注意定义域对值域的制约作用；（3）使用基本不等式容易忽视“一正

7、、二定、三相等”；（4）配方法，主要适用于可化为二次函数的函数，此时要特别注意自变量的范围；（5）用换元法解题时，应注意换元前后的等价性；（6）使用单调性法要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上的函数的最值问题；（7）导数法求函数在上的最大值和最小值3步骤①求函数在内的极值；②求函数在区间端点的函数值；③将函数的极值与比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．V．举一反三·触类旁通考向1观察法解题模板：第一步，观察函数中的特殊函数；第二