高考专题--- 函数的最值与值域-精品之高中数学（理）---精校解析 Word版

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1、第10题函数的最值与值域I．题源探究·黄金母题精彩解读【例1】已知函数，求函数的最大值和最小值．【试题来源】人教版A版必修一第31页例4改编【答案】【母题评析】本题利用对函数【解析】设是上的任意两个实数，且，则的单调性的判断或证明，进而利用函数的单调性求出函数在某一闭区间上的最大值和最小值．本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题由，得，形式．所以，即，【思路方法】利用函数的单调性的定义或借助函数的图象故在区间上是增函数．因此，函数在区间判断函数的单调性，借助函数的单调性研究函数的极值与的左端点处取得最小值，右端点处取得最大值，即最小值是，最值或比较

2、大小或解不等式等．最大值是．II．考场精彩·真题回放【例1】【2018高考天津文14】已知，函数【命题意图】本类题通常主要考查一些常见函数最值（值若对任意恒成立，则的取值范围是__________．域）的求解，类型多，解法灵活．【答案】【考试方向】这类试题在考查题型上，可以选择题或填空【解析】试题分析：由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立题，也可以是解答题，难度可的条件整理计算即可求得最终结果．以是容易题、中档题，也可以试题解析：分类讨论：①当时，即：，是压轴题，往往与函数的奇偶性、周期有联系以及导数、恒成立等交汇．整理可得：，由恒成立的条件可知：【难

3、点中心】求函数最值（值域）通性通法：，结合二次函数的性质可知：当时，（1）观察法；（2）利用常见函数的最值（值，则；域）；（3）分离常数法；②当时，即：，整理可得：（4）单调性法；，由恒成立的条件可知：（5）换元法；，结合二次函数的性质可知：（6）配方法；（7）基本不等式法；当或时，，则．（8）判别式法；（9）有界性法；综合①②可得的取值范围是．（10）图象法；【例2】【2018高考江苏17】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆（11）导数法．的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成．已知圆的半径为40米，点到的距离为50米．现规划在此农田上修建两个

4、温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设与所成的角为．（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【考点分析】本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分．【答案】（1）矩形的面积为平方米，的面积为的取值范围是；（2）当时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【解析】试题分析：（1）先

5、根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法．试题解析：（1）连结并延长交于，则，．过作于，则∥，，，则矩形的面积为，的面积为．过作，分别交圆弧和的延长线于和，则．令，则．当时，才能作出满足条件的矩形，的取值范围是．答：矩形的面积为平方米，的面积为的取值范围是．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为，设甲的单位面积的年产值为，乙的单位面积的年产值为，则年总产值为设，则．令，得，当时，，为增函数；当时，，

6、为减函数，因此，当时，取到最大值．答：当时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【例3】【2017浙江卷5】若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M–mA．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关【答案】B【解析】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B．【例4】【2017浙江卷17】已知αR，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________．【答案】【解析】，分类讨论：①当时，，函数的最大值，舍去；②当时，，此时命题成立；③当时，，则：

7、或：，解得：或综上可得，实数的取值范围是．【例5】【2017北京卷】已知，，且x+y=1，则的取值范围是__________．【答案】【解析】，所以当时，取最大值1；当时，取最小值；因此取值范围为．III．理论基础·解题原理一、函数的最值的基本概念设函数的定义域为，如果存在实数满足：(1)对于任意，都有；(2)存在，使得，则为函数的最大值．(1)对于任意，都有；(2)存在，使得，则为函数的最小值．二、函数最值的有关结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(

8、最小值)．IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，可以选择题或填空题，也可以