2020年高考数学(理)函数与导数-专题03-函数的值域与最值(解析版).doc

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1、函数与导数03函数函数的值域与最值【考点讲解】一、具体目标：理解函数的最大值、最小值及其几何意义．二、知识概述：1.函数的最大值与最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有__f(x)≤M__；存在x0∈I，使得__f(x0)＝M__，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．(2)对于任意的x∈I，都有__f(x)≥M__；存在x0∈I，使得__f(x0)＝M__，那么我们称M是函数y＝f(x)的最小值．2.求函数最值及值域的常用方法：1）单调性法：考查函数的单调性，

2、确定函数的最值点，便可求出函数相应的最值.2）图象法：对于由基本初等函数图象变化而来的函数，通过观察函数图象的最高点或最低点确定函数的最值.3）分段函数的最值：将每段函数的最值求出，比较大小确定函数的最值.4）导数法：对于一般的可导函数，可以利用导数求出函数的极值，并与端点值进行大小比较，从而确定函数的最值.利用导数研究函数极值、最值的方法：(1)若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号．(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解．(3

3、)求函数f(x)在闭区间[a，b]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．5）线性规划法求目标函数的最值及值域记牢三种常见的目标函数及其求法(1)截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝

4、PM

5、2.(3)斜率型：形如z＝，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝kPM.

6、6）基本不等式法求函数的最值及值域，掌握基本不等式求最值的3种解题技巧：(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指“正数”；“二定”指应用基本不等式求最值时，和或积为定值；

7、“三相等”是指满足等号成立的条件．若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到.利用基本不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：①，当且仅当时取等号；②，，当且仅当时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．【真题分析】1.【2019优选题】函数f(x)＝ln的值域是________．【解析】因为

8、x

9、≥0，所以

10、x

11、＋1≥1.所以0＜≤1.所以ln≤0，即f(x)＝ln的值域为(－∞，0]．【答案】(－∞，0]2.【2019优选题】设函数.①若，则的

12、最大值为______________；②若无最大值，则实数的取值范围是________.【解析】如图可作出函数与直线的图象，两图象的交点分别为，可知在时，函数有极大值.①当时，因此的最大值是.②由图象知当时，的最大值是，只有当时，，因此函数无最大值，所以所求的取值范围是【答案】，.3.【2018年高考江苏】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．【解析】由得或，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此解得.从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，【答案】–34.【2017年高考天津】

13、若，，则的最小值为___________．【解析】，（前一个等号成立的条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时成立，当且仅当时取等号）．【答案】45.【2019年高考天津卷理数】设，则的最小值为__________．【解析】方法一：.因为，所以，即，当且仅当时取等号成立.[来源:学*科*网Z*X*X*K]又因为，当且仅当，即时取等号，结合可知，可以取到3，故的最小值为.方法二：.当且仅当时等号成立，故的最小值为.【答案】6.【2018年高考天津卷理数】已知，且，则的最小值为.【解析】由可知，且，因为对于任意，恒成

14、立，结合基本不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.【答案】7.已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当

15、f(x)

16、≥g(x)时，h(x)＝

17、f(x)

18、；当

19、f(x)

20、＜g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)(　　)A．有最小值－1，最大值1B．有最大值1，无最小值C．有最小