2021版高中数学必做黄金100题44平面向量在解析几何中的应用（解析版）.docx

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1、第44题平面向量在解析几何中的应用一．题源探究·黄金母题图，已知椭圆C：的左、右焦点为，其上顶点为．已知是边长为的正三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）过点任作一动直线交椭圆C于两点，在线段上取一点使得，试判断当直线运动时，点是否在某一定直线上运动？若在请求出该定直线，若不在请说明理由．，由题意可设，，由得，故．设点R的坐标为，则由得【试题来源】2018届福建省闽侯第六中学高三上学期期末考试．【母题评析】本题考查轨迹方程的求法、三点共线的证明，考查考生的分析问题解决问题以及转化与化归的能力．【思路方法】20/20，解得．又，，从而，故点R在定直线上．利用向量共线可以将解析几何中的三点共线或

2、者平行问题代数化，利用向量相等的充要条件是联系的桥梁，同时要注意设而不求技巧的体现．二．考场精彩·真题回放2017高考新课标3理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=+，则+的最大值为（）A．3B．2C．D．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系．设，【命题意图】这类题主要考查平面向量基本定理、向量共线以及向量数量积在解析几何中的应用，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力以及基本计算能力等．【考试方向】这类试题在考查题型上，若以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易；若以解答题的形式出现，则难度较大．20/20根据等面积公式可得

3、圆的半径，即圆C的方程是，，若满足，即，，所以，设，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A．【学科素养】数学运算、直观想象【难点中心】向量在解析几何中的作用（1）载体作用：向量在解析几何中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量的外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题；（2）工具作用：利用//，可以解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到．三．理论基础·解题原理考点一解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：1．若直

4、线l的方程为：Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与直线l平行．2．给出与相交，等于已知过的中点．3．给出，等于已知是的中点．20/204．给出，等于已知与的中点三点共线．5．给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数，等于已知三点共线．6．给出，等于已知，即是直角，给出，等于已知是钝角，给出，等于已知是锐角．7．给出，等于已知是的平分线．8．在平行四边形中，给出，等于已知是菱形．9．在平行四边形中，给出，等于已知是矩形．10．在中，给出，等于已知是中边的中线．四．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，若以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏

5、易；若以解答题的形式出现，则难度较大．考向1利用向量相等的关系，把几何问题代数化已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，过点作圆：的切线，切点为，且直线与双曲线的一个交点满足，设为坐标原点，若，则双曲线的渐近线方程为（）【温馨提醒】利用向量相等法解题，要注意以下两点：1、已知向量起点坐标和终点坐标，则向量坐标为终点坐标减去起点坐标；2、向量相等的充要条件．20/20A．B．C．D．【答案】C【解析】，故，即，故点为线段的中点，连接，则为的中位线，且，故，且，故点在双曲线的右支上，，则在中，由勾股定理可得，，即，解得，故，故双曲线的渐近线方程为，故选C．考向2利用向量垂直的充要条件，巧妙化解

6、解析几何中的垂直问题设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1⊥PF2，则点P的横坐标为______________．【解析】由已知得，且设，则有：由PF1⊥PF2得①且代入①得：．【温馨提醒】解析几何中的垂直往往利用直线斜率关系处理，可由于直线位置的特殊性，使得解题过程不完备，利用向量垂直可以避开这个问题，但是要注意以下两点：1、充分挖掘题中垂直的条件；2、要善于寻找向量坐标．20/20考向3利用向量平行的充要条件，灵活转换解析几何中的平行或共线问题如图，已知椭圆C：的左、右焦点为，其上顶点为．已知是边长为的正三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）

7、过点任作一动直线交椭圆C于两点，在线段上取一点使得，试判断当直线运动时，点是否在某一定直线上运动？若在请求出该定直线，若不在请说明理由．【解析】（1）是边长为的正三角形，则，故椭圆C的方程为．(2)直线MN的斜率必存在，设其直线方程为，并设．联立方程，消去得，则【温馨提醒】利用向量共线可以将解析几何中的三点共线或者平行问题代数化，利用向量相等的充要条件是联系的桥梁，同时要注意设而不求技巧的体现．20/20，由题意可设，，