2018年高考数学 黄金100题系列 第25题 利用导数研究函数的单调性 理

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1、第25题利用导数研究函数的单调性I．题源探究·黄金母题【例1】判断下列函数的单调性，并求出单调区间：（1）；（2）；（3）；（4）；【解析】（1），∴.当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减.（2）∵，∴.当，即时，单调递增；当，即时，单调递减.（3）∵，∴.当，即时，函数单调递增；当，即或时，单调递减.（4）∵，∴.当，即或时，单调递增；当，即时，单调递减.【例2】讨论二次函数的单调区间。【解析】，.（1）当时，，即时，单调递增；，即时，单调递减.（2）当时，精彩解读【试题来源】人教版A版选修2—2第26页练习第1

2、题【母题评析】判断函数的单调性及求函数的单调区间是高中数中常见的一类典型问题，本考查了如何利用导数去判断函数的单调性及求函数的单调区间。【思路方法】判断函数的单调性基本方法有：定义法、图象法、复合函数法（同增异减），本题之后又添一法——导数法，求单调区间时，要注意函数的定义域。【试题来源】人教版A版选修2—2第26页练习第3题【母题评析】二次函数的单调性是初中就学习过的一个知识点，本题利用导数去讨论二次函数的单调性，既复习了旧的知识点，又练习新知识点。【思路方法】，即时，单调递增；，即时，单调递减.【例3】利用函数的单调性，

3、证明下列不等式：（1），；（2），；（3），；（4），；【解析】（1）证明：设，.∵，，∴在内单调递减，因此，，即，.（2）证明：设，.∵，，∴当时，，单调递增，；当时，，单调递减，；又.因此，，.（3）证明：设，.∵，，∴当时，，单调递增，；当时，，单调递减，；综上，，.（4）证明：设，.∵，，∴当时，，单调递增，；当时，，初中在研究二次函数的单调性时，主要侧重于数形结合，而本题旧题新解，利用导数去讨论二次函数的单调性，侧重于理论推导。【试题来源】人教版A版选修2—2第31页习题1.3B组第1题【母题评析】不等式证明是高中

4、数中常见的一类典型问题，本题考查了如何通过构造函数结合函数的单调性去证明不等式。【思路方法】不等式证明常用的基本方法有：综合法、比较法（作差法、作商法）、分析法，本题之后又添一法——构造函数法，要注意所构造函数的定义域。单调递减，；当时，显然.因此，.由（3）可知，，.综上，，。【例4】利用信息技术工具，画出函数的图象，并改变的值，观察图像的形状：（1）你能归纳出图象的大致形状吗？它的图像有什么特点？你能从图象上大致估计它的单调区间吗？（2）运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间。【解析】（1）函数的图象大致是个“双峰

5、”图象，类似“”或“”的形状.若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.（2）∵，∴.下面分类讨论：当时，分和两种情形：①当，且时，设方程的两根分别为，且，当，即或时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减.当，且时，此时，函数单调递增.②当，且时，设方程【试题来源】人教版A版选修2—2第31页习题1.3B组第4题【母题评析】本题通过研究三次函数的图象及单调区间，意在培养学生的数形结合思想的应用能力，在解题过程中对的讨论，又培养了学生的分类讨论思想，同时通过本题的研究，加深了学生

6、对三次函数图象与性质的了解。【思路方法】三次函数图象与性质是近几年高考中的高频考点，同时数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别是在解决函数的问题中，函数图像是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式。的两根分别为，且，当，即时，函数单调递增；当，即或时，函数单调递减.当，且时，此时，函数单调递减。II．考场精彩·真题回放【例5】【2017高考课标1，理21】已知函数.（I）讨论的单调性；（节选）【解析】试题分析：（I）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，在对按，进行讨论，写出

7、单调区间。试题解析：（I）的定义域为，，（ⅰ）若，则，∴在单调递减.（ⅱ）若，则由得.当时，；当时，，∴在单调递减，在单调递增.【命题意图】本类题通常主要考查利用导数讨论函数的单调性（求函数的单调区间）。【考试方向】这类试题在考查题型上，可以是选择题、填空题或解答题，难度中等.【难点中心】判断的单调性，只需对函数求导，根据的导数的符号判断函数的单调性，求出单调区间，还需注意函数的定义域。III．理论基础·解题原理考点一利用导数研究函数的单调性或求指定函数单调区间设计讨论函数的单调性，在考查导数研究函数单调性的同时考查分类与整

8、合思想、化归与转化思想等数学思想方法。求单调区间问题，先求函数的定义域，在求导函数，解导数大于0的不等式，得到区间为增区间，解导数小于0得到的区间为减区间，注意单调区间一定要写出区间形式，不用描述法集合或不等式表示，且增（减）区间有多个，一定要分开写，用逗号分开，不能写成并集形式，要说明增