2018年高考数学 黄金100题系列 第09题 函数的单调性 理

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1、第9题函数的单调性I．题源探究·黄金母题【例1】已知函数，求函数的最大值和最小值．【答案】【解析】设是上的任意两个实数，且，则由，得，所以，即，故在区间上是增函数．因此，函数在区间的左端点处取得最小值，右端点处取得最大值，即最小值是，最大值是．精彩解读【试题来源】人教版A版必修一第31页例4．【母题评析】本题通过对函数的单调性的判断或证明，进而利用函数的单调性求出函数在某一闭区间上的最大值和最小值．本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式．【思路方法】利用函数的单调性的定义或借助函数的图象判断函数的单调性，借助函数的

2、单调性研究函数的极值与最值或比较大小或解不等式等．II．考场精彩·真题回放【例2】【2017高考天津卷】已知奇函数在R上是增函数，．若，，，则a，b，c的大小关系为A．B．C．D．【答案】【解析】因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，，从而是上的偶函数，且在上是增函数，【命题意图】本类题通常主要考查一些常见函数的图象与性质，主要利用函数的单调性比较大小．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与不等式的性质同时考查．【难点中心】，，又，则，所以即，，所以，故选C．【例3】【201

3、7高考山东卷】若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质．下列函数中所有具有性质的函数的序号为．①；②；③；④【答案】①④【解析】试题分析：①在上单调递增，故具有性质；②在上单调递减，故不具有性质；③，令，则，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，故不具有性质；④，令，则，在上单调递增，故具有性质．【例4】【2017高考课标2卷】函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】要使函数有意义，则，解得：或（1）对于比较大小问题，简单问题可直接借助一个的常见函数的单调性，利用自变量的大小

4、关系，推出函数值的大小关系，复杂一点的，有时需要把式子适当变形，然后再构造一个适当的函数，同样借助这个函数的单调性，利用自变量的大小关系，推出函数值的大小关系．是基础题．（2）新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．（3）求函数单调区间的常用方法：①定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异

5、减的原则可得函数的单调增区间为．故选D．【例5】【2016高考新课标I卷】若，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】对于选项A：由于，所以函数在上单调递增．由，得．故A错误．又，即．故B错误．对于选项B：要比较与的大小，只需比较与的大小．构造函数，因为，所以，因此函数在上单调递增．又，对于选项C:要比较与的大小关系，只需比较与的大小，即比较与的大小．构造辅助函数，．令得．函数在上单调递增，因此，若，得，故．又，所以，即，得．故选项C正确．对于选项D：比较与的大小，只需比较与的大小，即比较与的大小．又，得，所以．又，得，

6、即②图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；③利用复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性．．故选项D不正确．综上可得选C．III．理论基础·解题原理一、函数的单调性的基本概念1．函数的单调性一般地，设函数的定义域为，区间，如果对于任意，当时，若，则函数在区间上是增函数；若，则函数在区间上是减函数；2．函数的单调区间若函数单调在区间上是增函数（或减函数），则称函数在这一区间上具有(严格的)单调性，区

7、间叫做的单调区间．二、辨明两个易误点(1)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结．(2)注意函数的定义域为不连续的两个单调性相同的区间，要分别说明单调区间，不可说成“在其定义域上”单调，如函数在(－∞，0)、(0，＋∞)上递减，而不能说在定义域上递减．三、判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：“同增异减”，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数；(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，

8、或者的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性．四、认识反应函数单调性的陌生函数符号定义在R上的函数对任意都有，说明函数为减函数；同样若，说明函数为增函数；类似呢？IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现